Criterio de Carathéodory

Criterio de Carathéodory: Sea ${\displaystyle \lambda ^{*}:{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ]}$ denota la medida exterior de Lebesgue en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ dónde ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}$ denota el conjunto de potencias de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ y deja ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$ Entonces ${\displaystyle M}$ es Lebesgue mensurable si y sólo si${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap M)+\lambda ^{*}\left(S\cap M^{c}\right)}$ para cada ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ dónde ${\displaystyle M^{c}}$ denota el complemento de ${\displaystyle M.}$ Darse cuenta de ${\displaystyle S}$ No es necesario que sea un conjunto medible.^[1]

El criterio de Carathéodory es de considerable importancia porque, en contraste con la formulación original de mensurabilidad de Lebesgue, que se basa en ciertas propiedades topológicas de ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ este criterio se generaliza fácilmente a una caracterización de la mensurabilidad en espacios abstractos. De hecho, en la generalización a medidas abstractas, este teorema a veces se extiende a una definición de mensurabilidad.^[1] Así, tenemos la siguiente definición:

Si ${\displaystyle \mu ^{*}:{\mathcal {P}}(\Omega )\to [0,\infty ]}$ es una medida exterior en un conjunto ${\displaystyle \Omega ,}$ dónde ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ denota el conjunto de potencias de ${\displaystyle \Omega ,}$ entonces un subconjunto ${\displaystyle M\subseteq \Omega }$ se llama ${\displaystyle \mu ^{*}}$–measurable o Carathéodory-measurable si por cada ${\displaystyle S\subseteq \Omega ,}$ la igualdad$${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}\left(S\cap M^{c}\right)}$$se sostiene donde ${\displaystyle M^{c}:=\Omega \setminus M}$ es el complemento de ${\displaystyle M.}$

la familia de todos ${\displaystyle \mu ^{*}}$ –los subconjuntos medibles son un σ-álgebra (así, por ejemplo, el complemento de un ${\displaystyle \mu ^{*}}$ –el conjunto medible es ${\displaystyle \mu ^{*}}$ –mensurables, y lo mismo ocurre con las intersecciones y uniones contables de ${\displaystyle \mu ^{*}}$ –conjuntos mensurables) y la restricción de la medida exterior ${\displaystyle \mu ^{*}}$ para esta familia es una medida.