Curva de trifolio

La curva de trifolio (también llamada curva de trébol de tres hojas, curva de rosa de tres pétalos y margarita de Melibea) es un tipo de curva cuártica. Su nombre proviene del término latino para "tres hojas", definiéndose como una forma de folio con tres hojas de igual tamaño.

Se describe como:

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0}$

Al resolver y sustituyendo y2 y su cuadrado, la curva se puede describir mediante las siguientes funciónes:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}}\;,\quad y^{2}={\frac {-x(2x+3)\pm x{\sqrt {16x+9}}}{2}}}$

Gracias a los símbolos ± separados, es posible obtener 4 soluciones diferentes en una coordenada x (positiva) dada; 2 valores de y por cada coordenada x negativa. Se observan 2 o 1 par(es) de soluciones, que reflejan los puntos de la curva.

En coordenadas polares es:

${\displaystyle r=-a\cos(3\theta )}$

En Coordenadas cartesianas es:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})[y^{2}+x(x+a)]=4axy^{2}}$

El área del trifolio se define mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}a^{2}\int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(3\theta )\,d\theta \,={\frac {\pi a^{2}}{4}}}$

Y tiene una longitud de:

${\displaystyle 6a\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-{\frac {8}{9}}\sin ^{2}t}}\,dt\thickapprox 6.7a}$

El trifolio fue descrito por J.D. Lawrence como una forma del folium de Kepler cuando

${\displaystyle b\in (0,4,a)\,}$

Una definición más actual es cuando ${\textstyle a=b.}$

El trifolio fue descrito por Dana-Picard como:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-x(x^{2}-3y^{2})=0}$

Define el trifolio como un conjunto de tres hojas y un punto triple en el origen, compuesto por cuatro arcos. El trifolio es una curva séxtica, lo que significa que cualquier línea que pase por el origen pasará por la curva de nuevo y por su conjugado complejo dos veces.

El trifolio es un tipo de rosa polar cuando k = 3.

Gaston Albert Gohierre de Longchamps fue el primero en estudiar el trifolio, y recibió el nombre de Torpille por su parecido con un pez.

El trifolio fue estudiado posteriormente por Henry Cundy y Arthur Rollett, quienes le dieron su nombre.