Cálculo fraccional de conjuntos

El cálculo fraccional de conjuntos (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionado por primera vez en el artículo titulado "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",^[1] es una metodología derivada del cálculo fraccional.^[2] El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.^[3]^[4]^[5] Esta metodología se originó a partir del desarrollo del método de Newton-Raphson fraccional ^[6] y trabajos relacionados posteriores.^[7]^[8]^[9]

Conjunto O x , α n ( h ) {\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h)} de operadores fraccionales

El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional. Esta emergencia fue en parte debido a la notación de Leibniz para derivadas de orden entero: ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}$ . Gracias a esta notación, L'Hopital pudo preguntar en una carta a Leibniz sobre la interpretación de tomar $n={\frac {1}{2}}$ en una derivada. En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L'Hopital en una carta que «... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles».

El nombre «cálculo fraccional» se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden $\alpha \in \mathbb {R}$ . Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional. En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera:

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.

Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que $\alpha \to n$ . Considerando una función escalar $h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ y la base canónica de $\mathbb {R} ^{m}$ denotada por $\{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}$ , el siguiente operador fraccional de orden $\alpha$ se define utilizando notación de Einstein:^[10]

o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).

Denotando $\partial _{k}^{n}$ como la derivada parcial de orden $n$ con respecto al componente $k$ -ésimo del vector $x$ , se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

$O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\},$

cuyo complemento es:

$O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x)\ \forall k\geq 1{\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)\neq \partial _{k}^{n}h(x){\text{ para al menos un }}k\geq 1\right\}.$

Como consecuencia, se define el siguiente conjunto:

O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^{n}(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).

Extensión a funciones vectoriales

Para una función $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ , el conjunto se define como:

{}_{m}O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h]_{k})\ \forall k\leq m\right\},

donde $[h]_{k}:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ denota el $k$ -ésimo componente de la función $h$ .

Conjunto m M O x , α ∞ , u ( h ) {\displaystyle {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)} de operadores fraccionales

El conjunto de operadores fraccionales considerando órdenes infinitos se define como:

{}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h):=\bigcap _{k\in \mathbb {Z} }{}_{m}O_{x,\alpha }^{k,u}(h),

donde bajo el producto de Hadamard ^[11] clásico se tiene que:

o_{x}^{0}\circ h(x):=h(x)\quad \forall o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h).

Operadores matriciales fraccionales

Para cada operador $o_{x}^{\alpha }$ , el operador matricial fraccional se define como:

A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })=\left([A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })]_{jk}\right)=\left(o_{k}^{\alpha }\right),

y para cada operador $o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)$ , se puede definir la siguiente matriz, correspondiente a una generalización de la matriz Jacobiana:^[12]

A_{h,\alpha }:=A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })\circ A_{\alpha }^{T}(h),

donde $A_{\alpha }(h):=\left([A_{\alpha }(h)]_{jk}\right)=\left([h]_{k}\right)$ .

Producto de Hadamard modificado

Considerando que, en general, $o_{x}^{p\alpha }\circ o_{x}^{q\alpha }\neq o_{x}^{(p+q)\alpha }$ , se define el siguiente producto de Hadamard modificado:

$o_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha }:=\left\{{\begin{array}{cl}o_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha },&{\text{si }}i\neq j\ ({\text{producto de Hadamard tipo horizontal}})\\o_{i,x}^{(p+q)\alpha },&{\text{si }}i=j\ ({\text{producto de Hadamard tipo vertical}})\end{array}}\right.,$

con el cual se obtiene el siguiente teorema:

Teorema: grupo abeliano de operadores matriciales fraccionales

Sea $o_{x}^{\alpha }$ un operador fraccional tal que $o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)$ . Considerando el producto de Hadamard modificado, se define el siguiente conjunto de operadores matriciales fraccionales:

${\begin{array}{c}{}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })):=\left\{A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }(o_{x}^{r\alpha }):r\in \mathbb {Z} \ {\text{ y }}\ A_{\alpha }^{\circ r}=\left([A_{\alpha }^{\circ r}]_{jk}\right):=\left(o_{k}^{r\alpha }\right)\right\},\end{array}}\quad (1)$

que corresponde al grupo Abeliano ^[13] generado por el operador $A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })$ .

Demostración

Dado que el conjunto en la ecuación (1) se define aplicando solo el producto de Hadamard tipo vertical entre sus elementos, para todos $A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))$ se tiene que:

$A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=\left([A_{\alpha }^{\circ p}]_{jk}\right)\circ \left([A_{\alpha }^{\circ q}]_{jk}\right)=\left(o_{k}^{(p+q)\alpha }\right)=\left([A_{\alpha }^{\circ (p+q)}]_{jk}\right)=A_{\alpha }^{\circ (p+q)},$

con lo cual es posible demostrar que el conjunto (1) satisface las siguientes propiedades de un grupo Abeliano:

$\left\{{\begin{array}{l}\forall A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q},A_{\alpha }^{\circ r}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ \left(A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}\right)\circ A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }^{\circ p}\circ \left(A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ r}\right)\\\exists A_{\alpha }^{\circ 0}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))\ {\text{tal que}}\ \forall A_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ A_{\alpha }^{\circ 0}\circ A_{\alpha }^{\circ p}=A_{\alpha }^{\circ p}\\\forall A_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ \exists A_{\alpha }^{\circ -p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))\ {\text{tal que}}\ A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ -p}=A_{\alpha }^{\circ 0}\\\forall A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ p}\end{array}}\right..$

Conjunto m S x , α n , γ ( h ) {\displaystyle {}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)} de operadores fraccionales

Sea $\mathbb {N} _{0}$ el conjunto $\mathbb {N} \cup \{0\}$ . Si $\gamma \in \mathbb {N} _{0}^{m}$ y $x\in \mathbb {R} ^{m}$ , entonces es posible definir la siguiente notación multi-índice:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\begin{array}{ccc}\displaystyle \gamma$

Entonces, considerando una función $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ y el operador fraccional:

$s_{x}^{\alpha \gamma }\left(o_{x}^{\alpha }\right):=o_{1}^{\alpha [\gamma ]_{1}}o_{2}^{\alpha [\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{\alpha [\gamma ]_{m}},$

se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

${\displaystyle S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\left\{s_{x}^{\alpha \gamma }=s_{x}^{\alpha \gamma }\left(o_{x}^{\alpha }\right)\$

De donde se obtienen los siguientes resultados:

${\text{Si }}s_{x}^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)\ \Rightarrow \ \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{0}o_{2}^{0}\cdots o_{m}^{0}h(x)=h(x)\\\displaystyle \lim _{\alpha \to 1}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{[\gamma ]_{1}}o_{2}^{[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}}h(x)\ \forall |\gamma |\leq n\\\displaystyle \lim _{\alpha \to q}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{q[\gamma ]_{1}}o_{2}^{q[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{q[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{q\gamma }}{\partial x^{q\gamma }}}h(x)\ \forall q|\gamma |\leq qn\\\displaystyle \lim _{\alpha \to n}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{n[\gamma ]_{1}}o_{2}^{n[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{n[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{n\gamma }}{\partial x^{n\gamma }}}h(x)\ \forall n|\gamma |\leq n^{2}\end{array}}\right..$

Como consecuencia, considerando una función $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ , se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

${\displaystyle {}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\left\{s_{x}^{\alpha \gamma }\$

Conjunto m T x , α ∞ , γ ( a , h ) {\displaystyle {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)} de operadores fraccionales

Considerando una función $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ y el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

${}_{m}S_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(h):=\lim _{n\to \infty }{}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h).$

Entonces, tomando una bola $B(a;\delta )\subset \Omega$ , es posible definir el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

${\displaystyle {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h):=\left\{t_{x}^{\alpha ,\infty }=t_{x}^{\alpha ,\infty }\left(s_{x}^{\alpha \gamma }\right)\$

el cual permite generalizar la expansión en serie de Taylor de una función vectorial en notación multi-índice. Como consecuencia, es posible obtener el siguiente resultado:

${\displaystyle {\text{Si }}t_{x}^{\alpha ,\infty }\in {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)\Rightarrow \left\{{\begin{array}{rl}t_{x}^{\alpha ,\infty }h(x)=&\displaystyle {\hat {e}}_{j}[h]_{j}(a)+\sum _{|\gamma |=1}{\frac {1}{\gamma$

Método de Newton-Raphson fraccional

Sea $f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ una función con un punto $\xi \in \Omega$ tal que $\|f(\xi )\|=0$ . Entonces, para algún ${\displaystyle x_{i}\in B(\xi$ y un operador fraccional $t_{x}^{\alpha ,\infty }\in {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(x_{i},f)$ , es posible definir un tipo de aproximación lineal de la función $f$ alrededor de $x_{i}$ de la siguiente manera:

$t_{x}^{\alpha ,\infty }f(x)\approx f(x_{i})+\sum _{k=1}^{m}{\hat {e}}_{j}o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\left[(x-x_{i})\right]_{k},$

lo cual se puede expresar de forma más compacta como:

$t_{x}^{\alpha ,\infty }f(x)\approx f(x_{i})+\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)(x-x_{i}),$

donde $\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)$ denota una matriz cuadrada. Por otro lado, si $x\to \xi$ y dado que $\|f(\xi )\|=0$ , se infiere lo siguiente:

$0\approx f(x_{i})+\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)(\xi -x_{i})\quad \Rightarrow \quad \xi \approx x_{i}-\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)^{-1}f(x_{i}).$

Como consecuencia, definiendo la matriz:

$A_{f,\alpha }(x)=\left([A_{f,\alpha }]_{jk}(x)\right):=\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x)\right)^{-1},$

es posible definir el siguiente método iterativo fraccional:

$x_{i+1}:=\Phi (\alpha ,x_{i})=x_{i}-A_{f,\alpha }(x_{i})f(x_{i}),\quad i=0,1,2,\cdots ,$

que corresponde al caso más general del método de Newton-Raphson fraccional.

El uso de operadores fraccionales en métodos de punto fijo ha sido ampliamente estudiado y citado en diversas fuentes académicas. Ejemplos de esto se pueden encontrar en varios artículos publicados en revistas de renombre, como los que aparecen en ScienceDirect,^[14]^[15] Springer,^[16] World Scientific,^[17] y MDPI,^[18]^[19]^[20]^[21]^[22] ^[23] ,,^[24] ^[25] . También se incluyen estudios de Taylor & Francis (Tandfonline) ^[26] , Cubo ^[27] , Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas,^[28] Journal of Research and Creativity,^[29] MQR ^[30] , y Актуальные вопросы науки и техники.^[31] Estos trabajos destacan la relevancia y aplicabilidad de los operadores fraccionales en la resolución de problemas.

Referencias

Bibliografía

Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods. Fractal Fract. 2021, 5, 240. DOI: 10.3390/fractalfract5040240
Oliveira, E.C.D.; Machado, J.A.T. A review of definitions for fractional derivatives and integral. Math. Probl. Eng. 2014, 2014, 238459. DOI: 10.1155/2014/238459
Teodoro, G.S.; Machado, J.A.T.; Oliveira, E.C.D. A review of definitions of fractional derivatives and other operators. J. Comput. Phys. 2019, 388, 195–208. DOI: 10.1016/j.jcp.2019.03.008
Valério, D.; Ortigueira, M.D.; Lopes, A.M. How many fractional derivatives are there? Mathematics 2022, 10, 737. DOI: 10.3390/math10050737
Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. Fractional Newton-Raphson Method. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2021, 8, 1–13. DOI: 10.5121/mathsj.2021.8101
Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Montufar-Chaveznava, R. Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers. Applied Mathematics and Computation 2022, Volume 429, 127231. DOI: 10.1016/j.amc.2022.127231
Torres-Hernandez, A. Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2022, 9, 17–24. DOI: 10.5121/mathsj.2022.9103
Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Ramirez-Melendez, R. Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications. En Operator Theory, IntechOpen, 2022. DOI: 10.5772/intechopen.107263
Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Jain, S. Fuzzy fractional Caputo-type numerical scheme for solving fuzzy nonlinear equations. Fractional Differential Equations 2024, 167–175. DOI: 10.1016/B978-0-44-315423-2.00016-3
Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Edalatpanah, S.A. Fractional Caputo-type simultaneous scheme for finding all polynomial roots. Recent Trends in Fractional Calculus and Its Applications 2024, 261–272. DOI: 10.1016/B978-0-44-318505-2.00021-0
Al-Nadhari, A.M.; Abderrahmani, S.; Hamadi, D.; Legouirah, M. The efficient geometrical nonlinear analysis method for civil engineering structures. Asian Journal of Civil Engineering 2024, 25(4), 3565–3573. DOI: 10.1007/s42107-024-00996-z
Shams, M.; Kausar, N.; Samaniego, C.; Agarwal, P.; Ahmed, S.F.; Momani, S. On efficient fractional Caputo-type simultaneous scheme for finding all roots of polynomial equations with biomedical engineering applications. Fractals 2023, 31(04), 2340075. DOI: 10.1142/S0218348X23400753
Wang, X.; Jin, Y.; Zhao, Y. Derivative-free iterative methods with some Kurchatov-type accelerating parameters for solving nonlinear systems. Symmetry 2021, 13(6), 943. DOI: 10.3390/sym13060943
Tverdyi, D.; Parovik, R. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation. Fractal and Fractional 2021, 6(1), 23. DOI: 10.3390/fractalfract6010023
Tverdyi, D.; Parovik, R. Application of the fractional Riccati equation for mathematical modeling of dynamic processes with saturation and memory effect. Fractal and Fractional 2022, 6(3), 163. DOI: 10.3390/fractalfract6030163
Srivastava, H.M. Editorial for the Special Issue “Operators of Fractional Calculus and Their Multidisciplinary Applications”. Fractal and Fractional 2023, 7(5), 415. DOI: 10.3390/fractalfract7050415
Shams, M.; Carpentieri, B. Efficient inverse fractional neural network-based simultaneous schemes for nonlinear engineering applications. Fractal and Fractional 2023, 7(12), 849. DOI: 10.3390/fractalfract7120849
Candelario, G.; Cordero, A.; Torregrosa, J.R.; Vassileva, M.P. Solving Nonlinear Transcendental Equations by Iterative Methods with Conformable Derivatives: A General Approach. Mathematics 2023, 11(11), 2568. DOI: 10.3390/math11112568
Shams, M.; Carpentieri, B. On highly efficient fractional numerical method for solving nonlinear engineering models. Mathematics 2023, 11(24), 4914. DOI: 10.3390/math11244914
Martínez, F.; Kaabar, M.K.A.; Martínez, I. Novel Results on Legendre Polynomials in the Sense of a Generalized Fractional Derivative. Mathematical and Computational Applications 2024, 29(4), 54. DOI: 10.3390/mca29040054
Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Jain, S.; Salman, M.A.; Shah, M.A. On family of the Caputo-type fractional numerical scheme for solving polynomial equations. Applied Mathematics in Science and Engineering 2023, 31(1), 2181959. DOI: 10.1080/27690911.2023.2181959
Nayak, S.K.; Parida, P.K. Global convergence analysis of Caputo fractional Whittaker method with real world applications. Cubo (Temuco) 2024, 26(1), 167–190. DOI: 10.56754/0719-0646.2601.167
Rebollar-Rebollar, S.; Martínez-Damián, M.Á.; Hernández-Martínez, J.; Hernández-Aguirre, P. Óptimo económico en una función Cobb-Douglas bivariada: una aplicación a ganadería de carne semi extensiva. Revista mexicana de ciencias agrícolas 2021, 12(8), 1517–1523. DOI: 10.29312/remexca.v12i8.2915
Mogro, M.F.; Jácome, F.A.; Cruz, G.M.; Zurita, J.R. Sorting Line Assisted by A Robotic Manipulator and Artificial Vision with Active Safety. Journal of Robotics and Control (JRC) 2024, 5(2), 388–396. DOI: 10.18196/jrc.v5i2.20327
Luna-Fox, S.B.; Uvidia-Armijo, J.H.; Uvidia-Armijo, L.A.; Romero-Medina, W.Y. Exploración comparativa de los métodos numéricos de Newton-Raphson y bisección para la resolución de ecuaciones no lineales. MQRInvestigar 2024, 8(2), 642–655. DOI: 10.56048/MQR20225.8.2.2024.642-655
Tvyordyj, D.A.; Parovik, R.I. Mathematical modeling in MATLAB of solar activity cycles according to the growth-decline of the Wolf number. Vestnik KRAUNC. Fiziko-Matematicheskie Nauki 2022, 41(4), 47–64. DOI: 10.26117/2079-6641-2022-41-4-47-65

Datos: Q126282413