Derivada de Dini

Dado que las derivadas Dini son una generalización de la derivada, éstas pueden proporcionar información a cerca de la diferenciabilidad de una función sobre un determinado punto. Concretamente, para el caso de las funciones de una sola variable, puede verse^[1] que si todas las derivadas Dini existen y además cumplen que ${\displaystyle D^{+}f(x_{0})=D^{-}f(x_{0})=D_{+}f(x_{0})=D_{-}f(x_{0})}$, entonces la función ${\displaystyle f}$ es diferenciable en el punto ${\displaystyle x_{0}}$ y además su valor coincide con el de las derivadas Dini:

${\displaystyle D^{+}f(x_{0})={\overline {D}}f(x_{0})={\underline {D}}f(x_{0})=\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{x=x_{0}}}$

En el caso de las funciones de varias variables, si la derivada direccional Dini superior e inferior existen y se verifica que ${\displaystyle D_{\mathbf {u} }^{+}f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {u} }^{-}f(\mathbf {x} )}$, entonces la derivada direccional de ${\displaystyle f}$ en la dirección ${\displaystyle \mathbf {u} }$ sobre el punto ${\displaystyle x}$ existe y su valor coincide con el de las derivadas Dini:^[2]

${\displaystyle D_{\mathbf {u} }^{+}f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {u} }^{-}f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {u} }f(\mathbf {x} )}$

donde ${\displaystyle D_{\mathbf {u} }f(x)}$ es la derivada direcciónal estándar de la función ${\displaystyle f}$ sobre el punto ${\displaystyle \mathbf {x} }$ en la dirección ${\displaystyle \mathbf {u} }$.

Sea ${\displaystyle f(x)=|x|}$ la función valor absoluto. Esta función es continua para toda la recta real y diferenciable en todos los puntos salvo en el punto ${\displaystyle x=0}$ donde la derivada no está bien definida. Sin embargo, las derivadas Dini en dicho punto existen y son finitas:

${\displaystyle {\begin{array}{l}D^{+}f(0)=D_{+}f(0)=1\\D^{-}f(0)=D_{-}f(0)=-1\end{array}}\Longrightarrow {\begin{array}{l}{\overline {D}}f(0)=1\\{\underline {D}}f(0)=-1\end{array}}}$

Las derivadas Dini también se pueden aplicar para funciones continuas definidas a trozos como por ejemplo:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-x&{\text{si }}x<0\\x^{2}&{\text{si }}x\geqslant 0\end{cases}}}$

Para esta función se puede ver que es diferenciable en todos los puntos excepto para ${\displaystyle x=0}$. Pero de nuevo las derivadas Dini existen y son finitas:

${\displaystyle {\begin{array}{l}D^{+}f(0)=D_{+}f(0)=0\\D^{-}f(0)=D_{-}f(0)=-1\end{array}}\Longrightarrow {\begin{array}{l}{\overline {D}}f(0)=0\\{\underline {D}}f(0)=-1\end{array}}}$

Sea la función ${\displaystyle f}$ definida como:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0\\x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{si }}x\neq 0\end{cases}}}$

Esta función no es diferenciable en el origen pues en este caso la derivada no está definida. Sin embargo, las derivadas Dini existen y son finitas:

${\displaystyle {\begin{array}{l}D^{+}f(0)=D^{-}f(0)=1\\D_{+}f(0)=D_{-}f(0)=-1\end{array}}\Longrightarrow {\begin{array}{l}{\overline {D}}f(0)=1\\{\underline {D}}f(0)=-1\end{array}}}$

Sea una función de dos variables definida como:

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}0&{\text{si }}(x,y)=(0,0)\\{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\sin \left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)&{\text{si }}(x,y)\neq (0,0)\end{cases}}}$

que es una generalización de la función del ejemplo anterior sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Puede observarse que la función ${\displaystyle f}$ es continua y está bien definida para cualquier punto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ por lo que pueden calcularse las derivadas direccionales Dini sobre cualquier punto, y en particular, sobre el punto ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$ que para cualquier dirección ${\displaystyle \mathbf {u} }$ existen y son finitas:

${\displaystyle D_{\mathbf {u} }^{+}f(0,0)=1\qquad \qquad D_{\mathbf {u} }^{{}-}f(0,0)=-1}$

Además, dado que ${\displaystyle D_{\mathbf {u} }^{+}f(0,0)\neq D_{\mathbf {u} }^{{}-}f(0,0)}$ se puede concluir que la derivada direccional de la función sobre dicho punto no va estar bien definida.