Desigualdad de Friedrichs

Sea Ω un conjunto acotado del espacio euclídeo Rⁿ con diámetro d. Supongamos u : Ω → R reside en un espacio de Sóbolev ${\displaystyle W_{0}^{k,p}(\Omega )}$ (i.e. u reside en W^k,p(Ω) y el soporte de u es compacto). Entonces:

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}.}$^[2]

En lo anterior

• ${\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}}$ denota la norma L^p;
• α = (α₁, ..., α_n) es un multiíndice con norma |α| = α₁ + ... + α_n;
• D^αu es la derivada parcial

${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.}$

• Desigualdad de Poincaré