Desigualdad de Minkowski

Primero se demuestra que f + g tiene una p -norma finita si f y g ambas la tienen. Esto se sigue de que

${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p})}$

En efecto, usando el hecho de que ${\displaystyle h(x)=x^{p}}$ es una función convexa sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ (para ${\displaystyle p}$ mayor que 1) y, por tanto, que, si a y b son ambos positivos, entonces

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{2}}b\right)^{p}\leq {\frac {1}{2}}a^{p}+{\frac {1}{2}}b^{p}}$

tenemos que

${\displaystyle (a+b)^{p}\leq 2^{p-1}a^{p}+2^{p-1}b^{p}}$

Ahora, se puede hablar legítimamente de ${\displaystyle (\|f+g\|_{p})}$ . Si es cero, entonces se cumple la desigualdad de Minkowski. Podemos suponer, pues, que ${\displaystyle (\|f+g\|_{p})}$ no es cero. Usando la desigualdad de Hölder,

${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle {\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}}$

${\displaystyle =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}}$

De donde se obtiene la desigualdad de Minkowski multiplicando ambos lados por ${\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}}$. ${\displaystyle \quad \square }$

• Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library (1952a ed. edición). Cambridge: Cambridge University Press. p. xii+324. ISBN 0-521-35880-9. 
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104