Espacio medible

En matemáticas, un espacio medible o espacio de Borel^[1] es un objeto básico en la teoría de la medida. Consiste en un conjunto y un σ-álgebra, que define los subconjuntos que se medirán.

Considere un conjunto $X$ y una σ-álgebra ${\mathcal {A}}$ en $X$ . Entonces el par $(X,{\mathcal {A}})$ se llama espacio medible.^[2]

Tenga en cuenta que, a diferencia de un espacio de medida, no se necesita ninguna medida para un espacio medible.

Ejemplo

Dado el conjunto

X=\{1,2,3\}.

Un posible $\sigma$ -álgebra sería

{\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}.

Entonces $(X,{\mathcal {A}}_{1})$ es un espacio medible. Otro posible $\sigma$ -álgebra sería el conjunto potencia en $X$ :

{\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X).

Con esto, un segundo espacio medible en el conjunto $X$ es dado por $(X,{\mathcal {A}}_{2})$ .

Espacios medibles comunes

Si $X$ es finito o infinito numerable, se toma la mayoría de las veces como $\sigma$ -álgebra el conjunto potencia de $X$ . Esto conduce al espacio medible $(X,{\mathcal {P}}(X))$ .

Si $X$ es un espacio topológico, se toma comúnmente el $\sigma$ -álgebra de Borel ${\mathcal {B}}(X)$ . Esto conduce al espacio medible $(X,{\mathcal {B}}(X))$ que es común para todos los espacios topológicos, por ejemplo, los números reales $\mathbb {R}$ .

Ambigüedad con espacios Borel

El término espacio Borel se usa para diferentes tipos de espacios medibles. Puede referirse a

cualquier espacio medible, por lo que es sinónimo de espacio medible como se define anteriormente^[1]
un espacio medible que es Borel isomorfo a un subconjunto medible de los números reales (nuevamente con el Borel $\sigma$ -álgebra)^[3]

Ejemplo

Espacios medibles comunes

Ambigüedad con espacios Borel

Referencias

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