Desigualdad de la suma de Chebyshov

La desigualdad de la suma de Chebyshov, debe su nombre al matemático ruso Pafnuti Chebyshov.

La desigualdad de la suma de Chebyshov establece que si:

a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}

y

b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},

entonces:

{1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).

Del mismo modo, si:

a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}

y

b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},

entonces:

{1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).

^[1]

Demostración

Considérese la suma:

S=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}(a_{j}-a_{k})(b_{j}-b_{k}).

Si las dos secuencias no se incrementan, entonces:

$a j - a k$ y $b j - b k$

tienen el mismo signo para cualquier $j, k$ . Por lo tanto $S \geq 0$ .

Resolviendo los paréntesis, se deduce que:

0\leq 2n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}-2\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{k=1}^{n}b_{k},

donde:

{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\geq \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\right)\,\left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}b_{k}\right).

Una demostración alternativa se puede obtener con el procedimiento de reordenación de desigualdad.

También hay una versión continua de la desigualdad de la suma Chebyshov:

Si f y g son funciones de variable real integrables en el intervalo [0,1], pero no crecientes, o ambas no decrecientes, entonces:

\int _{0}^{1}f(x)g(x)dx\geq \int _{0}^{1}f(x)dx\int _{0}^{1}g(x)dx,\,

con la desigualdad invertida si una función es no creciente y la otra es no decreciente.