Difusión anómala

En estadística la difusión normal en dos dimensiones se describe mediante la relación

${\displaystyle \langle {\textbf {r}}^{2}\rangle =4Dt}$,

donde ${\displaystyle \langle {\textbf {r}}^{2}\rangle }$ representa la variancia de la distribución de posiciones de una partícula que se desplaza en un plano. En este régimen, el proceso está completamente caracterizado por un valor constante de ${\displaystyle D}$. De hecho, si se estima experimentalmente el coeficiente de difusión como

${\displaystyle D={\frac {\langle x^{2}\rangle }{4t}}}$

se espera que esta razón permanezca constante en el tiempo.

En contraste, durante un proceso de difusión anómala, la relación entre el desplazamiento cuadrático medio y el tiempo adopta la forma

${\displaystyle \langle x^{2}\rangle =4Dt^{\alpha }}$,

donde ${\displaystyle \alpha }$ es el llamado exponente anómalo. En lo que sigue nos enfocaremos en el caso ${\displaystyle \alpha <1}$, correspondiente a subdifusión. Si se vuelve a calcular la razón ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle /t}$ en este contexto, se obtiene^[7]

${\displaystyle D_{app}(t)={\frac {\langle x^{2}\rangle }{t}}=4Dt^{\alpha -1}.}$

Es evidente que el coeficiente de difusión aparente ${\displaystyle D_{app}}$ varía con el tiempo, lo que implica que no existe un valor constante que caracterice la difusión en el medio. Esto refleja que el sistema no se encuentra en equilibrio térmico y que las leyes clásicas de difusión dejan de ser aplicables. En consecuencia, el exponente anómalo adquiere un papel fundamental para describir la dinámica del sistema.

La ecuación que gobierna la difusión anómala es una ley de potencias. A diferencia de los procesos descritos por decaimientos exponenciales —que poseen una única escala temporal bien definida—, una ley de potencias surge de la superposición de un número infinito de procesos con distintas escalas temporales. Esta característica explica la ausencia de una constante temporal única y la naturaleza no lineal del fenómeno.