Dimensión infinita

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Dimensión infinita o número infinito de dimensiones se refiere al caso de un espacio o estructura matemática modelizado sobre un espacio vectorial con número no finito de dimensiones. Es decir, un espacio vectorial que no admite una base vectorial con un número finito de elementos.^[1]^[2]

Un espacio de Hilbert como los que usualmente se usan en mecánica cuántica tiene una dimensión de Hilbert que es $\aleph _{0}$ , es decir, infinito numerable. Igualmente pueden existir estructuras con dimensión infinita no numerable.
En un espacio vectorial $V$ de dimensión infinita el espacio bidual $V^{**}$ no tienen por qué ser isomorfos, como sucede siempre en dimensión finita. De hecho, siempre resulta que: $\dim V\leq \dim V^{**}$ .
Una variedad de Banach puede tener dimensión infinita, aun no siendo un espacio vectorial, aunque dicha variedad localmente es homeomorfa a un espacio de Banach, ela misma no será en general un espacio de Banach. De manera similar, podemos definir variedades de Fréchet.
Un grupo de Lie asociado a una álgebra de Lie infinita, tiene también dimensión infinita, aunque no es un espacio vectorial y por tanto tiene una estructura no lineal de cierta complejidad.

Referencias

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