Dimensión isoperimétrica

La dimensión isoperimétrica de los gráficos se puede definir de manera parecida. En la encuesta de Fan Chung se da una explicación precisa.^[1] El área y el volumen se miden por los tamaños establecidos. Para todo subconjunto A del gráfico G se define ${\displaystyle \partial A}$ como el conjunto de vértices en ${\displaystyle G\setminus A}$ con un vecino en un Una desigualdad isoperimétrica d -dimensional ahora se define por

${\displaystyle |\partial A|\geq C\left(\min \left(|A|,|G\setminus A|\right)\right)^{(d-1)/d}.}$

(Esta pregunta de MathOverflow proporciona más detalles.) Los gráficos análogos de todos los ejemplos anteriores son aceptables, pero la definición es ligeramente distinta para evitar que la dimensión isoperimétrica de cualquier gráfico finito sea 0: En la fórmula anterior el volumen de ${\displaystyle A}$ es sustituida por ${\displaystyle \min(|A|,|G\setminus A|)}$ (ver la encuesta de Chung, sección 7).

La dimensión isoperimétrica de una cuadrícula de d-dimensión es d. En general, la dimensión isoperimétrica es resguardada por las cuasi isometrías, tanto por las cuasi isometrías entre variedades, entre gráficas, como también por las cuasi isometrías que llevan las variedades a las gráficas, con las respectivas definiciones. En términos generales, esto significa que un gráfico que "imite" una variedad dada (como la cuadrícula imita el espacio euclidiano) tendría la misma dimensión isoperimétrica que la variedad. Un árbol binario completo infinito tiene dimensión isoperimétrica ∞.^{[cita requerida]}

Una agregación simple sobre r (o suma en el caso de gráficos) muestra que una desigualdad isoperimétrica d-dimensional implica un crecimiento de volumen d -dimensional, a saber

${\displaystyle \operatorname {vol} B(x,r)\geq Cr^{d}}$

donde B (x, r) denota la bola de radio r alrededor del punto x en la distancia de Riemann o en el gráfico de distancia. En general, lo contrario no es verdad, es decir, incluso un crecimiento de volumen exponencial uniforme no implica ningún tipo de desigualdad isoperimétrica. Se puede tener un ejemplo simple tomando el gráfico Z (o sea, todos los números enteros con bordes entre n y n + 1) y conectando al vértice n un árbol binario completo de altura |n|. Ambas propiedades (crecimiento exponencial y dimensión isoperimétrica 0) son fáciles de verificar.

Una excepción interesante es el caso de los grupos. Resulta que un grupo con crecimiento polinomial de orden d tiene una dimensión isoperimétrica d. Esto es aceptable tanto para el caso de los grupos de Lie como para el gráfico de Cayley de un grupo generado finitamente.

Un teorema de Varopoulos conecta la dimensión isoperimétrica de un gráfico con la tasa de escape del camino aleatorio en el gráfico. El resultado dice

Teorema de Varopoulos: si G es un gráfico que satisface a una desigualdad isoperimétrica d-dimensional, entonces

${\displaystyle p_{n}(x,y)\leq Cn^{-d/2}}$

donde ${\textstyle p_{n}(x,y)}$ es la probabilidad de que una caminata aleatoria en G comenzando desde x esté en y después de n pasos, y C es una constante.

• Isaac Chavel, Desigualdades isoperimétricas: Perspectivas geométricas y analíticas diferenciales, Cambridge university press, Cambridge, Reino Unido (2001),ISBN 0-521-80267-9

Discute el tema en el contexto de las variedades, sin mencionar los gráficos.

• N. Ju. Varopoulos, Desigualdades isoperimétricas y cadenas de Markov, J. Funct. Anal. 63:2 (1985), 215–239.
• Thierry Coulhon y Laurent Saloff-Coste, Isopérimétrie pour les groupes et les variétés, Rev. Estera. Iberoamericana 9:2 (1993), 293–314.

Este artículo contiene el resultado de que en grupos de crecimiento polinomial, el crecimiento de volumen y las desigualdades isoperimétricas son equivalentes. En francés.

• Fan Chung, Desigualdades isoperimétricas discretas . Encuestas en Geometría Diferencial IX, International Press, (2004), 53–82. http://math.ucsd.edu/~fan/wp/iso.pdf .

Este artículo contiene una definición precisa de la dimensión isoperimétrica de un gráfico y establece muchas de sus propiedades.