Diseño de Box-Behnken

Los diseños de Box-Behnken son diseños experimentales habitualmente utilizados para recabar datos en procedimientos estadísticos relacionados con la metodología de superficies de respuesta, ideados por George EP Box y Donald Behnken en 1960.^[1] Se trata de un diseño que incluye un experimento centrado y varios experimentos adicionales que cumplen el requisito de que, alternativamente, uno de los factores presenta un nivel central y los otros se combinan como si se tratara un díselo factorial de dos niveles.

El diseño de Box-Behnken, como otros diseños experimentales, busca establecer los valores que deben tomar aquellos factores que afectan al resultado del experimento que va a llevarse a cabo, con el fin de poder establecer cuáles de ellos son los más adecuados y los que permitan los mejores resultados, como por ejemplo, máximo rendimiento de la producción, menor costo, etc., es decir, está dirigido a la optimización de resultados experimentales y/o de los recursos empleados. El diseño de Box-Behnken esta especialmente dirigido al análisis de superficies de respuesta, es decir, a la obtención de un modelo matemático, generalmente un modelo lineal de segundo orden. Una vez establecido el modelo matemático, es posible predecir el resultado del experimento bajo cualquier condición experimental de los factores que hayan sido incluidos en el modelo.^[2] Para alcanzar este objetivo de forma eficiente es necesario seguir una serie de criterios que eviten la subjetividad del experimentador, siguiendo un enfoque estadístico en la planificación de los experimentos y una ejecución sistemática de estos, de acuerdo con la siguiente secuencia general:^[3]

Reconocimiento y planteamiento del problema. Es preciso tener una idea clara de para qué se va a plantear el diseño experimental y qué es lo que se quiere conseguir con él.
Elección de los factores, niveles e intervalo. Es necesario establecer e identificar qué variables o factores tienen un mayor efecto sobre el resultado buscado. Una vez establecidos los factores que se incluirán en el estudio, es necesario establecer el intervalo de variabilidad de dichos factores y sus niveles de variación. Los diseños de Box-Behnken siempre tienen tres niveles por factor y cada factor, o variable independiente, se codifica y se le asignan tres valores espaciados, generalmente codificados como −1, 0, +1, siendo -1 el valor mínimo que toma la variable; +1, el máximo y 0, el central.
El número total de experimentos. Debe ser suficiente para que los resultados de la ejecución de dichos experimentos puedan ajustarse a un modelo cuadrático, es decir, a un modelo matemático que contenga términos cuadráticos, términos lineales, productos de dos factores y un término independiente o intersección con los ejes, siendo este número mayor que el número de coeficientes a ajustar en el modelo.
La varianza de la estimación. Un buen diseño de debería depender, en mayor o menor medida, únicamente de la distancia al centro de los valores máximo y mínimo de los factores (esto se logra exactamente para los diseños con 4 y 7 factores) y no debería variar demasiado dentro del (hiper)cubo más pequeño que contiene los puntos experimentales. (Véase el artículo "Rotabilidad" ).^[4] Como los diseños de Box-Behnken se utilizan para ajustar modelos matemáticos de superficies de respuesta experimental, es necesario que para una mejor estimación del error experimental (varianza de la estimación), se lleven a cabo réplicas ( de tres a cinco veces) de algunos de los experimentos, generalmente del punto central, pues se asume que el error es el mismo en toda la superficie de respuesta, ya que gran parte del diseño experimental se basa en la estadística clásica, donde no existe información detallada sobre las distribuciones de errores en un dominio experimental. Si existieran razones de peso para suponer que la heterocedasticidad de los errores desempeña un papel importante, la replicación debería realizarse en otros puntos (o en todos).^[1]

Características del diseño

El diseño de Box-Behnken está considerado como uno de los más robustos entre los diseños experimentales, incluyendo los diseños factoriales de tres niveles, el diseño compuesto central (CCD) y el diseño Doehlert, a pesar de su pobre cobertura de la esquina del espacio de diseño no lineal.^[5] Los diseños de Box-Beheken pueden considerarse como una combinación de un diseño factorial de dos niveles (completo o fraccionado) con un diseño de bloques incompletos. En cada bloque, un cierto número de factores se somete a todas las combinaciones del diseño factorial, mientras que los demás factores se mantienen en sus valores centrales. Por ejemplo, el diseño de Box-Behnken para 3 factores consta de tres bloques, en cada uno de los cuales se varían 2 factores a través de las 4 posibles combinaciones de alto y bajo. Es necesario incluir también puntos centrales (donde todos los factores se encuentran en sus valores centrales).

En número mínimo de experimentos que deben ejecutarse mediante un diseño de Box-Behnken depende del número total de factores y del número de factores que son variados en cada bloque (m). De acuerdo con el artículo original,^[1] estos serían:

Factores	m	Bloques	Puntos factoriales por bloque	Experimentos sin réplica del centro	Experimentos con réplicas del centro	Coeficientes del modelo a ajustar
3	2	3	4	13	15, 17 (2 o 4 réplicas)	10
4	2	6	4	25	27, 29 (2 o 4 réplicas)	15
5	2	10	4	41	46	21
6	3	6	8	49	54	28
7	3	7	8	57	62	36
9	3	12	8	97	105	55
10	4	10	16	161	170	66
11	5	11	16	177	188	78
12	4	12	16	193	204	91
16	4	24	16	385	396	153

En diseño para ocho factores no se muestra en el artículo original. También se han propuesto diseños para otros números de factores (al menos hasta 21). Existe un diseño para 16 factores con solo 256 puntos factoriales.

Estos diseños permiten una estimación eficiente de los coeficientes de primer y segundo orden en modelos matemáticos de superficies de respuesta experimental. Como los diseños de Box-Behnken tienen menos puntos de diseño, pueden ser menos costosos de realizar que los diseños centrales compuestos con el mismo número de factores.^[6]

Ejemplo

Supóngase que se desea determinar las mejores condiciones para moldear por inyección una pieza de plástico, sabiendo que los tres factores más influyentes y sus límites más adecuados son los siguientes:

Temperatura: 190 y 210 (código X₁)
Presión: 50 MPa y 100 MPa (código X₂)
Velocidad de inyección: 10 mm/s y 50 mm/s (código X₃)

Una vez que han sido identificados los factores más influyentes y los niveles máximo y mínimo, es necesario establecer en nivel intermedio que tomará cada factor, pues como se ha indicado, los diseños de Box-Behnken son de tres niveles. Por otro lado, por razones de comodidad, es frecuente codificar tanto los factores, como los niveles en los que estos van a variar. Para los tres factores indicados anteriormente, esto sería:^[6]

Temperatura: 190 (nivel -1), 200 (nivel 0) y 210 (nivel 1)

Presión: 50 MPa (nivel -1), 75 MPa (nivel 0) y 100 MPa (nivel 1)

Velocidad de inyección: 10 mm/s (nivel -1), 30 mm/s (nivel 0) y 50 mm/s (nivel 1)

Una vez establecidos los códigos de los factores y los niveles, el siguiente paso es establecer el diseño y realizar los diferentes experimentos. Para el caso de tres factores y tres niveles, el diseño de Box-Behnken establece un número mínimo de trece experimentos que se suele ampliar a 15 añadiendo dos réplicas del centro, o a 17 si se añaden 4 réplicas. En la tabla se muestra el diseño y los valores que tomarían cada factor en cada experimento:

Box-Behnken de 13 experimentos más dos réplicas del centro				Valores que toman los factores en cada experimento
Experimento	X₁	X₂	X₃	Temperatura, (ºC)	Presión, (MPa)	Velocidad, (mm/s)
1	-1	-1	0	190	50	30
2	+1	-1	0	210	50	30
3	-1	+1	0	190	100	30
4	+1	+1	0	210	100	30
5	-1	0	-1	190	75	10
6	+1	0	-1	210	75	10
7	-1	0	+1	190	75	50
8	+1	0	+1	210	75	50
9	0	-1	-1	200	50	10
10	0	+1	-1	200	100	10
11	0	-1	+1	200	50	50
12	0	+1	+1	200	100	50
13	0	0	0	200	75	30
14	0	0	0	200	75	30
15	0	0	0	200	75	30

Una vez que se han realizado todos los experimentos, el resultado experimental obtenido para cada uno de ellos, que deberá ser un valor numérico que tenga relación con las condiciones de trabajo anteriores, se sustituyen en un modelo matemático de segundo orden que tenga en cuenta los factores individuales y los elementos de interacción o cruce:

$y_{1}=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+a_{4}x_{1}x_{2}+a_{5}x_{1}x_{3}+a_{6}x_{2}x_{3}+a_{7}x_{1}^{2}+a_{8}x_{2}^{2}+a_{9}x_{3}^{2}$

con lo que se obtendrá un sistema superdeterminado de quince ecuaciones, a partir del cual, mediante regresión lineal u otro procedimiento matemático adecuado, se deducirán los valores correspondientes de los coeficientes $a_{0},\quad a_{1},\quad a_{2}\cdots \ a_{9}$ , obteniéndose así, el modelo matemático de superficie de respuesta experimental que permitirá estimar el resultado en cualquier combinación de las condiciones de trabajo, aunque sean diferentes a las utilizadas en el diseño, por ejemplo, x₁ = 205; x₂ = 90 y x₃ = 45.

Diseño de Box-Behnken

Características del diseño

Ejemplo

Véase también

Referencias

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