Dispersión de Taylor

Se puede derivar la ecuación de Taylor utilizando el método de promedios, introducido por primera vez por Aris. El resultado también puede derivarse de la asintótica de grandes tiempos, que es más intuitivamente clara. En el sistema de coordenadas dimensionales ${\displaystyle (x',r',\theta )}$, considere el flujo de Poiseuille completamente desarrollado ${\displaystyle u=2U[1-(r'/a)^{2}]}$ que fluye dentro de una tubería de radio ${\displaystyle a}$, donde ${\displaystyle U}$ es la velocidad media del fluido. Una especie de concentración ${\displaystyle c}$ con alguna distribución arbitraria debe liberarse en algún lugar dentro de la tubería en el tiempo ${\displaystyle t'=0}$. Siempre que esta distribución inicial sea compacta, por ejemplo, la especie/soluto no se libera en todas partes con un nivel de concentración finito, la especie se convectará a lo largo de la tubería con la velocidad media ${\displaystyle U}$. En un marco que se mueve con la velocidad media y se escala con las siguientes escalas adimensionales

${\displaystyle t={\frac {t'}{a^{2}/D}},\quad x={\frac {x'-Ut'}{a}},\quad r={\frac {r'}{a}},\quad Pe={\frac {Ua}{D}}}$

donde ${\displaystyle a^{2}/D}$ es el tiempo necesario para que la especie se difunda en dirección radial, ${\displaystyle D}$ es el coeficiente de difusión de la especie y ${\displaystyle Pe}$ es el número de Peclet, las ecuaciones que rigen este fenómeno vienen dadas por

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c}{\partial r}}\right).}$

Por lo tanto, en este marco móvil, en momentos ${\displaystyle t\sim 1}$ (en variables dimensionales, ${\displaystyle t'\sim a^{2}/D}$), la especie se difundirá radialmente. Es evidente, pues, que cuando ${\displaystyle t\gg 1}$ (en variables dimensionales, ${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$), la difusión en dirección radial hará que la concentración sea uniforme en toda la tubería, aunque la especie siga difundiéndose en dirección ${\displaystyle x}$. La dispersión de Taylor cuantifica este proceso de difusión axial para valores grandes de ${\displaystyle t}$.

Supongamos que ${\displaystyle t\sim 1/\epsilon \gg 1}$ (es decir, tiempos grandes en comparación con el tiempo de difusión radial ${\displaystyle a^{2}/D}$), donde ${\displaystyle \epsilon \ll 1}$ es un número pequeño. Entonces, en estos momentos, la concentración se extendería a una extensión axial ${\displaystyle x\sim {\sqrt {t}}\sim {\sqrt {1/\epsilon }}\gg 1}$. Para cuantificar el comportamiento en tiempos largos, se utilizan las siguientes reescalas^[7]

${\displaystyle \tau =\epsilon t,\quad \xi ={\sqrt {\epsilon }}x}$

se puede introducir. La ecuación queda entonces así:

${\displaystyle \epsilon {\frac {\partial c}{\partial \tau }}+{\sqrt {\epsilon }}Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c}{\partial \xi }}=\epsilon {\frac {\partial ^{2}c}{\partial \xi ^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c}{\partial r}}\right).}$

Si las paredes de la tubería no absorben ni reaccionan con las especies, entonces la condición de contorno ${\displaystyle \partial c/\partial r=0}$ debe satisfacerse en ${\displaystyle r=1}$. Debido a la simetría, ${\displaystyle \partial c/\partial r=0}$ en ${\displaystyle r=0}$.

Dado que ${\displaystyle \epsilon \ll 1}$, la solución puede expandirse en una serie asintótica, ${\displaystyle c=c_{0}+{\sqrt {\epsilon }}c_{1}+\epsilon c_{2}+\cdots }$ Sustituyendo esta serie en la ecuación que rige y agrupando los términos de diferentes órdenes, se obtiene una serie de ecuaciones. En el orden principal, la ecuación obtenida es

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{0}}{\partial r}}\right)=0.}$

Al integrar esta ecuación con las condiciones de contorno definidas anteriormente, se obtiene ${\displaystyle c_{0}=c_{0}(\xi ,\tau )}$. En este orden, ${\displaystyle c_{0}}$ sigue siendo una función desconocida. El hecho de que ${\displaystyle c_{0}}$ sea independiente de ${\displaystyle r}$ es un resultado esperado, ya que, como ya se ha dicho, en momentos ${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$, la difusión radial dominará primero y hará que la concentración sea uniforme en toda la tubería.

Los términos del orden ${\displaystyle {\sqrt {\epsilon }}}$ conducen a la ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{1}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{0}}{\partial \xi }}.}$

Integrando esta ecuación con respecto a ${\displaystyle r}$ utilizando las condiciones de contorno, se obtiene

${\displaystyle c_{1}(\xi ,r,\tau )=c_{1a}(\xi ,\tau )+{\frac {Pe}{8}}(2r^{2}-r^{4}){\frac {\partial c_{0}}{\partial \xi }}}$

donde ${\displaystyle c_{1a}}$ es el valor de ${\displaystyle c_{1}}$ en ${\displaystyle r=0}$, una función desconocida en este orden.

Los términos del orden ${\displaystyle \epsilon }$ conducen a la ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{2}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{1}}{\partial \xi }}+{\frac {\partial c_{0}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}.}$

Esta ecuación también se puede integrar con respecto a ${\displaystyle r}$, pero lo que se requiere es la condición de solubilidad de la ecuación anterior. La condición de solubilidad se obtiene multiplicando la ecuación anterior por ${\displaystyle 2rdr}$ e integrando toda la ecuación desde ${\displaystyle r=0}$ hasta ${\displaystyle r=1}$. Esto también es lo mismo que promediar la ecuación anterior en la dirección radial. Utilizando las condiciones de contorno y los resultados obtenidos en los dos órdenes anteriores, la condición de solubilidad conduce a

${\displaystyle {\frac {\partial c_{0}}{\partial \tau }}=\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial c_{0}}{\partial t}}=\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial x^{2}}}.}$

Esta es la ecuación de difusión requerida. Volviendo al marco del laboratorio y a las variables dimensionales, la ecuación se convierte en

${\displaystyle {\frac {\partial c_{0}}{\partial t'}}+U{\frac {\partial c_{0}}{\partial x'}}=D\left(1+{\frac {U^{2}a^{2}}{48D^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial x'^{2}}}.}$

Por la forma en que se deriva esta ecuación, se puede ver que esto es válido para ${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$, en el que ${\displaystyle c_{0}}$ cambia significativamente en una escala de longitud ${\displaystyle x'\gg a}$ (o más precisamente en una escala ${\displaystyle x\sim {\sqrt {Dt'}})}$. En la misma escala de tiempo ${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$, en cualquier escala de longitud pequeña alrededor de una ubicación que se mueve con el flujo medio, por ejemplo ${\displaystyle x'-Ut'=x_{s}'-Ut'}$, es decir e., en la escala de longitud ${\displaystyle x'-x_{s}'\sim a}$, la concentración ya no es independiente de ${\displaystyle r}$, sino que viene dada por ${\displaystyle c=c_{0}+{\sqrt {\epsilon }}c_{1}.}$

Integrando las ecuaciones obtenidas en segundo orden, encontramos

${\displaystyle c_{2}(\xi ,\tau )=c_{2a}(\xi ,\tau )+{\frac {Pe}{4}}\left(r^{2}-{\frac {r^{4}}{2}}\right){\frac {\partial c_{1a}}{\partial \xi }}+{\frac {Pe^{2}}{32}}\left({\frac {r^{2}}{6}}+{\frac {r^{4}}{2}}-{\frac {5r^{6}}{8}}+{\frac {r^{8}}{8}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}}$

donde ${\displaystyle c_{2a}(\xi ,\tau )}$ es una incógnita en este orden.

Ahora, reuniendo los términos del orden ${\displaystyle \epsilon {\sqrt {\epsilon }}}$, se encuentra

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{3}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{2}}{\partial \xi }}+{\frac {\partial c_{1}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial ^{2}c_{1}}{\partial \xi ^{2}}}.}$

La condición de solubilidad de la ecuación anterior da como resultado la ecuación que rige ${\displaystyle c_{1a}(\xi ,\tau )}$ de la siguiente manera

${\displaystyle {\frac {\partial c_{1a}}{\partial \tau }}-\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{1a}}{\partial \xi ^{2}}}=-{\frac {Pe^{3}}{2880}}{\frac {\partial ^{3}c_{0}}{\partial \xi ^{3}}}.}$

• Aris, R. (1956). «Sobre la dispersión de un soluto en un fluido que fluye a través de un tubo». Actas de la Real Sociedad de Londres, Serie A 235 (1200): 67-77. Bibcode:235...67A 1956RSPSA. 235...67A. S2CID 95229777. doi:10.1098/rspa.1956.0065. 
• Frankel, I.; Brenner, H. (1989). «Sobre los fundamentos de la teoría generalizada de la dispersión de Taylor». Journal of Fluid Mechanics 204: 97. Bibcode:1989JFM...204...97F. S2CID 123719494. doi:10.1017/S0022112089001679. 
• Taylor, Geoffrey (1953). «Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube». Proceedings of the Royal Society of London, Series A 219 (1137): 186-203. Bibcode:219..186T 1953RSPSA. 219..186T. S2CID 97372019. doi:10.1098/rspa.1953.0139. 
• Taylor, Geoffrey (1954). «La dispersión de la materia en un flujo turbulento a través de una tubería». Actas de la Royal Society de Londres, Serie A 223 (1155): 446-468. Bibcode:223..446T 1954RSPSA. 223..446T. S2CID 96182418. 
• Taylor, Geoffrey (1954). «Condiciones en las que la dispersión de un soluto en una corriente de disolvente puede utilizarse para medir la difusión molecular». Actas de la Royal Society de Londres, Serie A 225 (1163): 473-477. Bibcode:225..473T 1954RSPSA. 225..473T. S2CID 97701431. 
• Brenner, H. (1980). «Dispersion resulting from flow through spatially periodic porous media». Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A 297 (1430): 81-133. Bibcode:297...81B 1980RSPTA. 297...81B. S2CID 121853893. doi:10.1098/rsta.1980.0205. 
• Mestel. J. Dispersión de Taylor: difusión aumentada por cizallamiento, «Apuntes de la clase M4A33», Imperial College.