Dominik Hładun se unió a las categorías inferiores del Zagłębie Lubin de su ciudad natal a temprana edad, avanzando por las distintas categorías de la cantera hasta debutar con el filial en la III Liga en 2014.[1] Un año más tarde se marchó como cedido al Chojniczanka Chojnice hasta final de temporada.[2] De vuelta en Lubin, el 17 de febrero de 2018 disputó su primer partido en la Ekstraklasa con el primer equipo, jugando los 90 minutos en la derrota a domicilio contra el Wisła Płock por 2-0.[3] En las siguientes cuatro temporadas, el joven guardameta se mantuvo como titular en el equipo cobre, registrando en total 109 apariciones con la elástica del Zagłębie.[4] Expirado su contrato con el club de Baja Silesia,[5] el 15 de junio de 2022 se anunció su fichaje por el Legia de Varsovia,[6][7] también de la máxima categoría del fútbol polaco, supliendo la salida de Richard Strebinger y la retirada de Artur Boruc.[8][9] Su debut con el Legia se produjo siete meses después, el 24 de febrero de 2023, en el empate por 2-2 contra el Widzew Łódź.[10] En sus dos años vistiendo la camiseta eLka, Hładun jugó 21 partidos y mantuvo seis porterías a cero, además de ganar una Copa y una Supercopa de Polonia con el Legia.[11] También fue portero titular en el partido de ida y vuelta contra el Zrinjski Mostar en la fase de grupos de la Liga Europa Conferencia de la UEFA 2023-24.[12][13] El 17 de julio de 2024 se anunció su regreso al Zagłębie Lubin, tras rescindir su contrato con el Legia y firmar hasta junio de 2027 con su primer club donde debutó como profesional.[14][15]
