Ecuaciones de Panofsky-Phillips

Se nota respectivamente ρ la densidad volumétrica de carga eléctrica en cada punto de un volumen V del espacio, y J la densidad volumétrica de corriente eléctrica.

Si se estudian los campos E y B engendrados en un punto M por una distribución arbitraria de cargas y de corrientes contenidas en el volumen V, entonces, anotando r la distancia entre cada punto fuente y M, y n el vector unitario apuntando desde cada punto fuente hacia M, las ecuaciones de Panofsky-Phillips dan^[1] (en el punto M) :

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {[\rho ]\mathbf {n} }{r^{2}}}+{\frac {\left(\left[\mathbf {J} \right]\cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {n} +\left(\left[\mathbf {J} \right]\times \mathbf {n} \right)\times \mathbf {n} }{c\,r^{2}}}+{\frac {\left(\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} \right)\times \mathbf {n} }{c^{2}r}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]\times \mathbf {n} }{c^{2}r^{2}}}+{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} }{c^{3}r}}\right)\,dV'}$

con : ${\displaystyle [\rho ]=\rho \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}$ , ${\displaystyle [\mathbf {J} ]=\mathbf {J} \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}$ y ${\displaystyle \left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]={\dot {\mathbf {J} }}\!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}$

En estas ecuaciones :

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ es la permitividad del vacío (${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ = 8,854 187 82 ${\displaystyle \times }$10^-12 F/m)
• c es la velocidad de la luz en el vacío (c = 299 792 458 m/s)
• ${\displaystyle {\dot {\mathbf {J} }}}$ es la derivada temporal del vector densidad de corriente ${\displaystyle \mathbf {J} }$ en un punto

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Cuatro conclusiones principales pueden ser extraídas de estas ecuaciones^[3] :

Si se observan las diferentes fuentes del campo electromagnético que aparecen en las ecuaciones de Panofsky-Phillips (ρ, ${\displaystyle \mathbf {J} }$ y ${\displaystyle {\dot {\mathbf {J} }}}$), se observa que estas últimas están sistemáticamente escritas entre corchetes [ ], lo que implica que hay que considerar siempre su estado en el instante pasado (llamado instante retardado) t' = (t - r/c), y no en el instante presente t.

Esto traduce el hecho de que los campos eléctrico y magnético se propagan a la velocidad finita c, es decir a 299 792 458 m/s. Existe por tanto siempre un cierto retraso entre una variación a nivel de las fuentes y los efectos que estas pueden engendrar en otro punto del espacio. Este retraso es igual al tiempo de propagación de los campos entre la fuente y el receptor, r/c.

Tres términos aparecen en la fórmula del campo eléctrico E :

• el primer término está ligado a la posición retardada de las cargas eléctricas fuente (se reconoce la ley de Coulomb expresada en el instante retardado t') ;
• el segundo término está ligado a la velocidad retardada de las cargas fuente. Aporta una corrección al campo coulombiano retardado (primer término) compensando los efectos de retardo cuando las corrientes son constantes en el tiempo (${\displaystyle {\dot {\mathbf {J} }}}$ = 0). Una de las propiedades notables de este término^[2] es anularse cuando se tiene a la vez div(J) = 0 y ${\displaystyle {\dot {\mathbf {J} }}}$ = 0 (es decir en régimen estacionario) ;
• el tercer término está provocado por la aceleración (en el tiempo retardado) de las cargas fuente (se puede hablar de « campo de aceleración »).

De igual forma, para el campo magnético B, se reconoce un primer término ligado a la velocidad de las cargas fuente (ley de Biot-Savart retardada), y un segundo término provocado por su aceleración.

Podemos separar los diferentes términos de estos campos en dos categorías : unos poseen una disminución en 1/r², inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (podemos por tanto calificar estos términos de « campos cercanos », ya que solo son significativos en la proximidad inmediata de las fuentes), mientras que los otros poseen una disminución en 1/r (se trata de los campos de aceleración, también llamados campos « radiados », que se vuelven cada vez más predominantes a medida que uno se aleja de las fuentes, debido a su disminución más lenta con la distancia).

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\color {green}{\frac {[\rho ]\mathbf {n} }{r^{2}}}+{\frac {\left(\left[\mathbf {J} \right]\cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {n} +\left(\left[\mathbf {J} \right]\times \mathbf {n} \right)\times \mathbf {n} }{c\,r^{2}}}}\mathbin {\color {red}{+}} {\color {red}{\frac {\left(\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} \right)\times \mathbf {n} }{c^{2}r}}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\color {green}{\frac {\left[\mathbf {J} \right]\times \mathbf {n} }{c^{2}r^{2}}}}\mathbin {\color {red}{+}} {\color {red}{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} }{c^{3}r}}}\right)\,dV'}$

• En verde, tenemos los campos cercanos (disminución en 1/r²).
• En rojo, tenemos los campos radiados (disminución en 1/r).

Notemos que los campos ligados a la posición y a la velocidad de las cargas fuente poseen una disminución en 1/r², y que aquellos ligados a la aceleración de las cargas fuente poseen una disminución en 1/r.

• En la zona de campo lejano (es decir cuando r >> λ), se puede considerar los términos en 1/r² como despreciables frente a los términos en 1/r, lo que permite simplificaciones en el cálculo del campo electromagnético (véase campo cercano y campo lejano). En este caso, la expresión de los campos emitidos puede reducirse a :

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left(\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} \right)\times \mathbf {n} }{r}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} }{r}}\right)\,dV'}$

donde solo se conservan los campos radiados.

• En la zona de campo cercano (r << λ), los campos pueden calcularse utilizando la aproximación de regímenes cuasi estacionarios. Es en esta zona donde aparecen fenómenos como la inducción electromagnética y la fuerza de Abraham-Lorentz.

• Los términos « radiados », que constituyen lo que se llama el radiación electromagnética, son siempre generados por variaciones temporales de corriente, es decir por cargas aceleradas. Una carga eléctrica que no se acelera no producirá ningún campo E o B con disminución en 1/r.

• Además, la emisión es direccional (o anisótropa) : la amplitud de los campos emitidos depende de la dirección de observación (es nula en el eje de aceleración, y máxima en el plano ortogonal a la aceleración). Podemos ilustrar esta propiedad observando los campos emitidos por un dipolo oscilante :

(Un tal dipolo oscilante es incapaz de emitir o detectar radiación a lo largo de su eje, mientras que la eficacia de esta operación es máxima en el plano ecuatorial).

• Se notará igualmente que estos términos son ortogonales a n, lo que implica que son siempre transversales con respecto a la dirección de propagación de los campos electromagnéticos radiados, como se puede ver a continuación :

• Las ecuaciones de Panofsky-Phillips muestran además que el campo magnético radiado está ligado al campo eléctrico radiado por la relación :

$${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{ray}}={\frac {\mathbf {n} \times \mathbf {E} _{\text{ray}}}{c}}}$$

Por consiguiente, en la zona de campo lejano (r >> λ), el campo magnético está ligado al campo eléctrico por :

$${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {n} \times \mathbf {E} }{c}}}$$

Se tiene entonces ${\displaystyle \mathbf {E} \perp \mathbf {B} \perp \mathbf {n} }$ .

Estas propiedades permiten por ejemplo explicar el origen de la presión de radiación.

La frecuencia de oscilación de la fuente determinará a qué dominio del espectro electromagnético pertenece la radiación emitida :

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

El estudio de las ecuaciones de Maxwell, en particular las de Maxwell-Thomson y Maxwell-Faraday, nos muestra^[4][5] (utilizando el teorema de Helmholtz-Hodge) que los campos E y B pueden calcularse a partir de potenciales V y A tales que :

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)}$

Al elegir la gauge de Lorenz, se obtiene como expresión de estos potenciales retardados :

${\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {[\rho ]}{r}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]}{r}}\right)\,dV'}$

donde V es el potencial escalar, y A el potencial vectorial.

Para calcular los campos emitidos por una carga puntual q, se utilizarán los potenciales de Liénard-Wiechert.

Se puede descomponer el potencial vectorial A en una componente radial A_n (soportada por el vector n) y en una componente transversal A_{${\displaystyle \perp }$} (ortogonal al vector n) :

${\displaystyle \mathbf {A} _{n}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} )\,\mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\perp }=-\left(\mathbf {A} \times \mathbf {n} \right)\times \mathbf {n} }$

• Si se nota respectivamente E_proche y B_proche la parte de los campos eléctrico y magnético que posee una disminución en 1/r² en las ecuaciones de Panofsky-Phillips, estos están ligados a los potenciales retardados por las relaciones :

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{proche}}=-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} _{n}}{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{proche}}={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} _{n}\right)}$

• Si se nota respectivamente E_ray y B_ray la parte de los campos eléctrico y magnético que posee una disminución en 1/r en las ecuaciones de Panofsky-Phillips, estos están ligados a los potenciales retardados por las relaciones :

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{ray}}=-{\frac {\partial \mathbf {A} _{\perp }}{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{ray}}={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} _{\perp }\right)}$

La componente radial de A está por tanto ligada al campo cercano, mientras que la componente transversal de A está ligada al campo radiado.

Si se comparan las ecuaciones de Panofsky-Phillips y las de Jefimenko, se observa que sus expresiones son idénticas para el campo magnético B, pero difieren para el campo eléctrico E, aunque las dos fórmulas sean equivalentes^[2].

Además, se puede constatar que la ecuación de Panofsky-Phillips para el campo E ofrece un interés pedagógico superior a la de Jefimenko, en la medida en que pone en evidencia la separación entre los campos cercanos y los campos radiados, y permite identificar directamente las características generales de los campos radiados, cosa que no permite la expresión de Jefimenko. Permite en particular una mejor comprensión cualitativa del fenómeno de radiación electromagnética.

En cambio, la ecuación de Jefimenko, debido a su escritura más compacta, es en la mayoría de los casos más fácil de utilizar que la de Panofsky-Phillips para calcular el valor del campo E en una situación dada. Una de las únicas excepciones es el caso de la radiación dipolar^[6].

Las ecuaciones de Panofsky-Phillips y de Jefimenko ofrecen por tanto intereses complementarios.