Ecuación de Allen-Cahn

La ecuación de Allen-Cahn, por John W. Cahn y Sam Allen, es una ecuación de reacción-difusión de física matemática que describe el proceso de separación de fases en sistemas de aleaciones de varios componentes, incluidas las transiciones de orden-desorden.

La ecuación describe la evolución temporal de una variable de estado escalar-valorada ${\displaystyle \eta }$ en un dominio ${\displaystyle \Omega }$ durante un intervalo de tiempo ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, y está dado por:^[1][2]

Ecuación	En
${\displaystyle {{\partial \eta } \over {\partial t}}=M_{\eta }[\operatorname {div} (\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )-f'(\eta )]}$	${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {T}}}$
${\displaystyle \eta ={\bar {\eta }}}$	${\displaystyle \partial _{\eta }\Omega \times {\mathcal {T}}}$
${\displaystyle -(\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )\cdot m=q}$	${\displaystyle \partial _{q}\Omega \times {\mathcal {T}}}$
${\displaystyle \eta =\eta _{o}}$	${\displaystyle \Omega \times \{0\}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle M_{\eta }}$	Movilidad
${\displaystyle f}$	Densidad de energía libre
${\displaystyle {\bar {\eta }}}$	Control de la variable de estado en la parte del límite ${\displaystyle \partial _{\eta }\Omega }$
${\displaystyle q}$	Control de fuente en ${\displaystyle \partial _{q}\Omega }$
${\displaystyle \eta _{o}}$	Condición inicial
${\displaystyle m}$	Normal al exterior ${\displaystyle \partial \Omega }$

es el flujo de gradiente L² de la energía libre de Ginzburg – Landau – Wilson funcional.^[3] Está estrechamente relacionado con la ecuación de Cahn-Hilliard. En una dimensión espacial, Xinfu Chen da una descripción muy detallada de un artículo.^[4]