Ecuación de Rayleigh-Plesset

La ecuación de Rayleigh–Plesset se puede obtener de las ecuaciones de Navier-Stokes con el radio de la burbuja como un parámetro dinámico.^[3] Considerando simetría esférica en una burbuja de radio ${\displaystyle R(t)}$ variable en el tiempo, se puede asumir que contiene vapor homogéneamente distribuido con una temperatura uniforme. En el exterior de la burbuja existe un dominio líquido de tamaño infinito con densidad constante ${\displaystyle \rho _{L}}$ y viscosidad dinámica ${\displaystyle \mu _{L}}$, siendo la temperatura y presión lo bastante alejados de la burbuja como para que esta no afecte al líquido ${\displaystyle T_{\infty }}$ y ${\displaystyle P_{\infty }(t)}$. La temperatura ${\displaystyle T_{\infty }}$ se asume constante. Sin embargo, en las proximidades de la burbuja el fluido se ve afectado por esta, por lo que se puede definir parámetros en función de la distancia radial al centro de la burbuja. Son ${\displaystyle P(r,t)}$, ${\displaystyle T(r,t)}$ y la velocidad ${\displaystyle u(r,t)}$. Es importante recordar que estos parámetros solo están definidos en el exterior de la burbuja, ${\displaystyle r\geq R(t)}$.

Aplicando la conservación de la masa, se obtiene una ley de la inversa del cuadrado para la velocidad ${\displaystyle u(r,t),}$ que debe ser inversamente proporcional a la distancia del centro de la burbuja.^[5] Así, se deduce que ${\displaystyle F(t)}$ debe ser variable en el tiempo

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}}$

Si la transferencia de masa a través de la superficie de la burbuja es nula, la velocidad en la interfase debe ser

${\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}={\frac {F(t)}{R^{2}}}}$

lo que da:

${\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}$

Si hay transporte de masa, el incremento de masa encerrada en la burbuja es:

${\displaystyle {\frac {dm_{V}}{dt}}=\rho _{V}{\frac {dV}{dt}}=\rho _{V}{\frac {d(4\pi R^{3}/3)}{dt}}=4\pi \rho _{V}R^{2}{\frac {dR}{dt}}}$

con ${\displaystyle V}$ representando el volumen de la burbuja. Si ${\displaystyle u_{L}}$ es la velocidad relativa del líquido con la burbuja en ${\displaystyle r=R}$, la masa entrante a esta viene dada por:

${\displaystyle {\frac {dm_{L}}{dt}}=\rho _{L}Au_{L}=\rho _{L}(4\pi R^{2})u_{L}}$

con ${\displaystyle A}$ siendo la superficie de la burbuja. Aplicando la conservación de la masa, ${\displaystyle dm_{v}/dt=dm_{L}/dt}$, se obtiene ${\displaystyle u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})dR/dt}$. Luego:

${\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}-u_{L}={\frac {dR}{dt}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\frac {dR}{dt}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {dR}{dt}}}$

Así:

${\displaystyle F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right)R^{2}{\frac {dR}{dt}}}$

En muchos casos la densidad del líquido en mucho mayor que la del vapor, ${\displaystyle \rho _{L}\gg \rho _{V}}$, por lo que ${\displaystyle F(t)}$ puede ser aproximado por el primer resultado para transferencia de masa nula ${\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}$, por lo que^[5]

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}}$

Si se asume un fluido newtoniano, las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas esféricas para el movimiento en dirección radial son:

${\displaystyle \rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$

Sustituyendo por la viscosidad cinemática ${\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}$ y reordenando los términos se obtiene:

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}-\nu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$

Donde al sustituir ${\displaystyle u(r,t)}$ por el resultado obtenido del apartado anterior:

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

Se debe notar que los términos viscosos se cancelan durante la sustitución:.^[5] Separando variables e integrando desde la frontera de la burbuja ${\displaystyle r=R}$ hasta ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ resulta:

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P_{\infty }}dP=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]dr}$

${\displaystyle {{\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}}$

Designando como ${\displaystyle \sigma _{rr}}$ a la tensión normal en el líquido dirigida desde el centro hacia el exterior de la burbuja, tenemos para un fluido con densidad y viscosidad constantes:

${\displaystyle \sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}}$

Luego en una fracción infinitesimal de la superficie de la burbuja hay una fuerza resultante neta de:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2S}{R}}&=-P(R)+\left.2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle S}$ es la tensión superficial.^[5] Si no hay transferencia de masa en la frontera, la fuerza por unidad de área debe ser cero, luego:

${\displaystyle P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2S}{R}}}$

y así resulta:

${\displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2S}{\rho _{L}R}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

donde si se reordenan los términos y se define ${\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}$ se obtiene la ecuación de Rayleigh–Plesset^[5]

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}}$

Usando la notación de Newton de indicar con un punto una derivada temporal, se puede representar más sucintamente como:

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}({\dot {R}})^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}}$

No se conocen soluciones cerradas para la ecuación de Rayleigh–Plesset. Sin embargo, se pueden obtener fácilmente soluciones numéricas con la precisión que se desee. Mención expresa merece el caso de tensión superficial y viscosidad negligibles, para el que hay aproximaciones analíticas de orden elevado.^[6]

Para el caso estático, en cambio, la ecuación se simplifica a la conocida como ecuación de Laplace-Young:

${\displaystyle P_{B}-P_{\infty }={\frac {2S}{R}}}$

Cuando sólo hay variaciones infinitesimales en el radio y presión, la ecuación da comoresultado la frecuencia natural de la burbuja, un valor de interés en los flujos con cavitación.