Ecuación del cabrestante

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${\displaystyle T_{\text{carga}}=T_{\text{sujeción}}\,e^{\mu \varphi }~,}$

donde ${\displaystyle T_{\text{carga}}}$ es la tensión aplicada en la línea, ${\displaystyle T_{\text{sujeción}}}$ es la fuerza de sujeción ejercida en el otro extremo, ${\displaystyle \mu }$ es el coeficiente de fricción entre los materiales de la cuerda y el cilindro, y ${\displaystyle \varphi }$ es el ángulo total de contacto de la cuerda, en radianes (para una vuelta completa ${\displaystyle \varphi =2\pi \,}$).

Para aplicaciones dinámicas (transmisión por correa o frenos), lo relevante es la diferencia de fuerzas:

${\displaystyle F=T_{\text{carga}}-T_{\text{sujeción}}=(e^{\mu \varphi }-1)\,T_{\text{sujeción}}=(1-e^{-\mu \varphi })\,T_{\text{carga}}}$

1. La cuerda está al borde de deslizar totalmente, es decir, ${\displaystyle T_{\text{carga}}}$ es la carga máxima que se puede mantener.
2. La línea no debe ser rígida (por ejemplo, un cable Bowden no sigue esta ley).
3. La cuerda se considera no elástica.

La ganancia de fuerza crece de forma exponencial con el coeficiente de fricción, el número de vueltas y el ángulo de contacto. El radio del cilindro no influye en el resultado.

La siguiente tabla muestra valores de ${\displaystyle e^{\mu \varphi }}$ en función del número de vueltas y el coeficiente de fricción μ:

Vueltas	Coeficiente de fricción μ
	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
0.5	1.4	1.9	2.6	3.5	4.8	6.6	9
1	1.9	3.5	6.6	12	23	43	81
2	3.5	12	43	152	535	1881	6661
3	6.6	43	286	1881	12392	81612	537503
4	12	152	1881	23228	286751	3540026	43702631
5	23	535	12392	286751	6635624	153552935	3553321281

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La tensión aplicada ${\displaystyle T_{\mathrm {carga} }(\varphi )}$ es función del ángulo total subtendido por la cuerda en el cabrestante. Al borde del deslizamiento, esta fuerza es también la fuerza de fricción, definida como ${\displaystyle \mu }$ veces la fuerza normal ${\displaystyle R(\varphi )}$.

Por geometría, el incremento de la fuerza normal ${\displaystyle \delta R(\varphi )=R(\varphi +\delta \varphi )-R(\varphi )}$ al aumentar el ángulo un pequeño valor ${\displaystyle \delta \varphi }$ se aproxima como:

${\displaystyle \delta R(\varphi )\approx T_{\text{carga}}(\varphi )\,\sin(\delta \varphi )\approx T_{\text{carga}}(\varphi )\,\delta \varphi }$

Combinando estas expresiones y considerando ${\displaystyle \delta \varphi }$ infinitesimal se obtiene la ecuación diferencial:

${\displaystyle {\frac {dT_{\text{carga}}(\varphi )}{d\varphi }}=\mu T_{\text{carga}}(\varphi ),\qquad T_{\text{carga}}(0)=T_{\text{sujeción}},}$

cuya solución es:

${\displaystyle T_{\mathrm {carga} }(\varphi )=T_{\text{sujeción}}e^{\mu \varphi }}$

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La ecuación de fricción para una correa en V es:

${\displaystyle T_{\text{carga}}=T_{\text{sujeción}}\,e^{\mu \varphi /\sin(\alpha /2)}}$

donde ${\displaystyle \alpha }$ es el ángulo (en radianes) entre las dos caras planas de la polea sobre las que se apoya la correa.^[5] Una correa plana equivale a un ángulo efectivo de ${\displaystyle \alpha =\pi }$.

El material de una correa en V o de una correa multi-V tiende a encajarse en la ranura de la polea a medida que aumenta la carga, mejorando la transmisión de par.^[6]

Para la misma potencia transmitida, una correa en V requiere menos tensión que una correa plana, aumentando la vida útil de los rodamientos.^[5]

Si una cuerda se encuentra en equilibrio bajo fuerzas tangenciales en una superficie rugosa ortotrópica, se cumplen las siguientes condiciones:

1. No separación – la reacción normal ${\displaystyle N}$ es positiva en todos los puntos de la curva de la cuerda:

   ${\displaystyle N=-k_{n}T>0}$, donde ${\displaystyle k_{n}}$ es la curvatura normal de la curva.

2. El coeficiente de fricción de arrastre ${\displaystyle \mu _{g}}$ y el ángulo ${\displaystyle \alpha }$ satisfacen el criterio:

   ${\displaystyle -\mu _{g}<\tan \alpha <+\mu _{g}}$

3. Valores límite de las fuerzas tangenciales:

   Las fuerzas en los extremos de la cuerda ${\displaystyle T}$ y ${\displaystyle T_{0}}$ satisfacen la desigualdad

   ${\displaystyle T_{0}e^{-\int _{s}\omega \,ds}\leq T\leq T_{0}e^{\int _{s}\omega \,ds}}$

   con ${\displaystyle \omega =\mu _{\tau }{\sqrt {k_{n}^{2}-{\frac {k_{g}^{2}}{\mu _{g}^{2}}}}}=\mu _{\tau }k{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}},}$

donde ${\displaystyle k_{g}}$ es la curvatura geodésica de la curva, ${\displaystyle k}$ su curvatura total y ${\displaystyle \mu _{\tau }}$ el coeficiente de fricción tangencial.

Si ${\displaystyle \omega }$ es constante:

${\displaystyle T_{0}e^{-\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha /\mu _{g}^{2}}}}\leq T\leq T_{0}e^{\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha /\mu _{g}^{2}}}}}$

Esta generalización fue obtenida por Konyukhov.^[7][8]

• Fricción en correas
• Mecánica de contacto por fricción
• Amplificador de par