Ecuación exponencial

Sea a un número real fijo, positivo y diferente de 1, entonces la ecuación:

${\displaystyle a^{x}=b}$

se denomina ecuación exponencial elemental.^[2]

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Depende del tipo de ecuación exponencial del que se trate, hay diversas formas de resolverla, por su nivel de dificultad. Las más fáciles son por simple inspección, es decir, se descompone la parte numérica en sus factores primos y aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad. A continuación se brindan algunos ejemplos.

Sea la ecuación del siguiente ejemplo:

${\displaystyle 2^{x+1}=16\,}$

Si el primer miembro tiene sólo un término y el término del segundo miembro es potencia de la base del término del primer miembro, entonces el segundo miembro, se expresa como potencia de la base de la expresión que contiene la incógnita. En el ejemplo 16 es potencia de la base dos de ${\displaystyle 2^{x+1}}$.

${\displaystyle 2^{x+1}=2^{4}\,}$

Luego, por la siguiente propiedad: ${\displaystyle a^{x}=a^{y}\Rightarrow x=y\,}$, tenemos: ${\displaystyle x+1=4\,}$

${\displaystyle x=4-1\,}$

${\displaystyle x=3\,}$

Sea la ecuación exponencial del ejemplo:

${\displaystyle 2\cdot 7^{x+2}+7^{x}=33957\,}$

Vamos a escribirla así:

${\displaystyle 2\cdot (7^{x})\cdot 7^{2}+(7^{x})=33957}$

Aplicamos el cambio de variable, y escribimos:

${\displaystyle 7^{x}=a\,}$

Ahora, al reemplazar, se tiene:

${\displaystyle 2a\cdot 49+a=33957\,}$

Despejamos ${\displaystyle a\,}$:

${\displaystyle 99a=33957\,}$

${\displaystyle a={\frac {33957}{99}}\,}$

${\displaystyle a=343\,}$

Ahora, recordemos que ${\displaystyle a=7^{x}\,}$, luego:

${\displaystyle 343=7^{x}\,}$

${\displaystyle 7^{3}=7^{x}\,}$

${\displaystyle 3=x\,}$

Resolver la ecuación^[3]

2·9^x - 3^x+1 -2 = 0

Puesto que la ecuación propuesta puede ser escrita en la forma

2·(3^x)² - 3·3^x - 2 = 0

Luego con la sustitución y = 3^x, se tiene respecto a y la ecuación algebraica de segundo grado

2y² - 3y -2 = 0.

Resolviendo resulta y = 2; y = -1/2. La última solución es imposible, pues 3^x > 0. En tal caso 3^x = 2;

x = log₃2 = ln2  : ln3 = 0.6309 ( logaritmos naturales);

Sea la ecuación:

${\displaystyle 4^{x+1}\cdot 8^{x}=4096\,}$

Usamos logaritmo a ambos lados de la ecuación:

${\displaystyle \log _{2}(4^{x+1}\cdot 8^{x})=\log _{2}4096}$

Por propiedades de los logaritmos, tenemos:

${\displaystyle \log _{2}(4^{x+1})+\log _{2}(8^{x})=\log _{2}4096}$

${\displaystyle (x+1)\cdot \log _{2}4+x\cdot \log _{2}8=\log _{2}4096\,}$

Operando:

${\displaystyle (x+1)\cdot 2+x\cdot 3=12\,}$

${\displaystyle 2x+2+3x=12\,}$

${\displaystyle 5x=10\,}$

De donde sale:

${\displaystyle x=2\,}$

Sea la ecuación 4^x+1·8^x = 4096, pasando las bases de potencia: 4 y 8 a potencias de 2, como también 4096 = 2¹², se tiene

2^2x+2·2^3x = 2¹², igualando los exponentes resulta

(2x +2) + 3x = 12, finalmente

5x = 10; por tanto x = 2.

Cuando la incógnita se encuentra en el índice de una raíz, también se la considera exponencial, ya que sólo basta escribirla como exponente fraccionario. Sea la ecuación:

${\displaystyle {\sqrt[{3x+1}]{2^{x+2}}}=8}$

Vemos que la variable se encuentra también en el exponente de una raíz. Por las propiedades de la radicación, vamos a escribirla así:

${\displaystyle 2^{\frac {x+2}{3x+1}}=8\,}$

Aplicamos el método de igualación de bases:

${\displaystyle 2^{\frac {x+2}{3x+1}}=2^{3}\,}$

O sea:

${\displaystyle {\frac {x+2}{3x+1}}=3\,}$

Operando, obtenemos:

${\displaystyle x=-{\frac {1}{8}}\,}$