Elemento de Coxeter

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Cabe destacar que en este artículo se consideran grupos de Coxeter finitos. Para grupos de Coxeter infinitos, existen múltiples clases de conjugación de elementos de Coxeter, que tienen orden infinito.

Existen muchas maneras diferentes de definir el número de Coxeter h de un sistema de raíces irreducible.

• El número de Coxeter es el orden de cualquier elemento de Coxeter.
• El número de Coxeter es ⁠${\displaystyle {\tfrac {2m}{n}},}$⁠, donde n es el rango y m es el número de reflexiones. En el caso cristalográfico, m es la mitad del número de raíces, y 2m+n es la dimensión del álgebra de Lie semisimple correspondiente.

• Si la raíz más alta es ${\displaystyle \sum m_{i}\alpha _{i}}$ para α_i raíces simples, entonces el número de Coxeter es ${\displaystyle 1+\sum m_{i}.}$.
• El número de Coxeter es el grado más alto de un invariante fundamental del grupo de Coxeter que actúa sobre polinomios.

El número de Coxeter para cada tipo de Dynkin se muestra en la siguiente tabla:

Los invariantes del grupo de Coxeter que actúan sobre polinomios forman un álgebra de polinomios, cuyos generadores son los invariantes fundamentales. Sus grados se muestran en la tabla anterior.

Obsérvese que si m es un grado de un invariante fundamental, también lo es h + 2 − m.

Los autovalores de un elemento de Coxeter son los números ${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {m-1}{h}}}}$, ya que m recorre los grados de los invariantes fundamentales. Dado que comienza con m= 2, estos incluyen la h-ésima raíz primitiva de la unidad, ${\displaystyle \zeta _{h}=e^{2\pi i{\frac {1}{h}}},}$, que es importante en el plano de Coxeter que se muestra a continuación.

El número de Coxeter dual es 1 más la suma de los coeficientes de las raíces simples en la raíz corta más alta del sistema raíz dual.

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Existe una relación entre el orden g del grupo de Coxeter y el número de Coxeter h:^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}[p]:&\quad {\frac {2h}{g_{p}}}=1\\[4pt][p,q]:&\quad {\frac {8}{g_{p,q}}}={\frac {2}{p}}+{\frac {2}{q}}-1\\[4pt][p,q,r]:&\quad {\frac {64h}{g_{p,q,r}}}=12-p-2q-r+{\frac {4}{p}}+{\frac {4}{r}}\\[4pt][p,q,r,s]:&\quad {\frac {16}{g_{p,q,r,s}}}={\frac {8}{g_{p,q,r}}}+{\frac {8}{g_{q,r,s}}}+{\frac {2}{ps}}-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s}}+1\\[4pt]\vdots \qquad &\qquad \vdots \end{aligned}}}$$

Por ejemplo, [3,3,5] tiene h= 30:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {64\times 30}{g_{3,3,5}}}=12-3-6-5+{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}={\frac {2}{15}},\\[4pt]&\therefore g_{3,3,5}={\frac {1920\times 15}{2}}=960\times 15=14400.\end{aligned}}}$$

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Los distintos elementos de Coxeter corresponden a orientaciones del diagrama de Coxeter (es decir, corresponden a carcajs de Dynkin): las reflexiones simples correspondientes a los vértices fuente se escriben primero, luego las de los vértices aguas abajo y, por último, las de los sumideros (el orden de los vértices no adyacentes es irrelevante, ya que corresponden a reflexiones conmutativas). Una opción especial es la orientación alternada, en la que las reflexiones simples se dividen en dos conjuntos de vértices no adyacentes, y todas las aristas se orientan del primer al segundo conjunto.^[4] La orientación alternada produce un elemento de Coxeter especial w que satisface ${\displaystyle w^{h/2}=w_{0},}$, donde w₀ es el elemento más largo, siempre que el número de Coxeter h sea par.

Para ${\displaystyle A_{n-1}\cong S_{n},}$ el grupo simétrico sobre n, los elementos de Coxeter son ciertos n-ciclos: el producto de reflexiones simples ${\displaystyle (1,2)(2,3)\cdots (n-1,n)}$ es el elemento de Coxeter ${\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)}$.^[5] Para n par, el elemento de Coxeter de orientación alternada es:

$${\displaystyle (1,2)(3,4)\cdots (2,3)(4,5)\cdots =(2,4,6,\ldots ,n{-}2,n,n{-}1,n{-}3,\ldots ,5,3,1).}$$

Existen elementos de Coxeter ${\displaystyle 2^{n-2}}$ distintos entre los ciclos ${\displaystyle (n{-}1)!}$ y n.

El grupo diédrico Dih_p se genera mediante dos reflexiones que forman un ángulo de ${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{2p}},}$ por lo que los dos elementos de Coxeter son su producto en cualquier orden, que es una rotación de ${\displaystyle \pm {\tfrac {2\pi }{p}}.}$

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Para un elemento de Coxeter dado w, existe un plano único P sobre el que w actúa por rotación de ⁠${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{h}},}$⁠ que se denomina plano de Coxeter^[6] y es el plano sobre el que P tiene valores propios ${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {1}{h}}}}$ y ${\displaystyle e^{-2\pi i{\frac {1}{h}}}=e^{2\pi i{\frac {h-1}{h}}}.}$^[7] Este plano fue estudiado sistemáticamente por primera vez en (Coxeter, 1948),^[8] y posteriormente utilizado en (Steinberg, 1959) para proporcionar demostraciones uniformes sobre las propiedades de los elementos de Coxeter.^[8]

El plano de Coxeter se usa a menudo para dibujar diagramas de politopos de dimensiones superiores y sistemas de raíces; los vértices y aristas del politopo, o raíces (y algunas aristas que los conectan) son proyectados ortogonalmente sobre el plano de Coxeter, produciendo un polígono de Petrie con simetría rotacional h-múltiple.^[9] Para sistemas de raíces, ninguna raíz se proyecta a cero, lo que corresponde al elemento de Coxeter que no fija ninguna raíz o más bien eje (no tiene valor propio 1 o −1), por lo que las proyecciones de órbitas bajo w forman disposiciones circulares de h-lóbulos^[9] y hay un centro vacío, como en el diagrama E₈ en la parte superior derecha. Para politopos, un vértice puede proyectarse a cero, como se muestra a continuación para los sólidos platónicos sobre el plano de Coxeter.

En tres dimensiones, la simetría de un poliedro regular, {p, q}, con un polígono de Petrie dirigido marcado, definido como un compuesto de 3 reflexiones, tiene simetría de rotación impropia, S_h, [2⁺,h⁺], de orden h. Al agregar un espejo, la simetría se puede duplicar a simetría antiprismática, D_hd, [2⁺,h], orden 2h. En proyección ortogonal 2D, esto se convierte en el grupo diédrico, Dih_h, [h], de orden 2h.

En cuatro dimensiones, la simetría de un policoro regular, {p, q, r}, con un polígono de Petrie dirigido marcado es una doble rotación, definida como un compuesto de 4 reflexiones, con simetría +¹/_h[C_h×C_h]^[10] (John Horton Conway), (C_2h/C₁;C_2h/C₁) (#1', Patrick du Val (1964)^[11]), orden h.

En cinco dimensiones, la simetría de un 5-politopo regular, {p, q, r, s},, con un polígono de Petrie dirigido marcado, está representado por la composición de 5 reflexiones.

En las dimensiones 6 a 8 hay 3 grupos de Coxeter excepcionales. Un politopo uniforme de cada dimensión representa las raíces de los grupos de Lie excepcionales E_n. Los elementos de Coxeter son 12, 18 y 30 respectivamente.

• Elemento más largo de un grupo de Coxeter