Equilibrio correlacionado

Es un juego estratégico de ${\displaystyle N}$ jugadores ${\displaystyle \displaystyle (N,A_{i},u_{i})}$ que se caracteriza por jugar un conjunto de acciones ${\displaystyle \displaystyle A_{i}}$ una función de utilidad ${\displaystyle u_{i}}$ para cada jugador ${\displaystyle i}$. Cuando el jugador ${\displaystyle i}$ escoge la estrategia ${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$ y el resto de los jugadores escogen la estrategia descrita por la ${\displaystyle N-1}$-tuple ${\displaystyle \displaystyle a_{-i}}$, entonces la utilidad del jugador ${\displaystyle i}$ es ${\displaystyle \displaystyle u_{i}(a_{i},a_{-i})}$.

Una modificación de la estrategia para el jugador ${\displaystyle i}$ es una función ${\displaystyle \phi \colon A_{i}\to A_{i}}$. Es decir, ${\displaystyle \phi }$ dice jugador ${\displaystyle i}$ para modificar su comportamiento al jugar la acción ${\displaystyle \phi (a_{i})}$ cuando se le indique para jugar ${\displaystyle a_{i}}$.

Sea ${\displaystyle (\Omega ,\pi )}$ un Conjunto numerable en un Espacio probabilístico. Para cada jugador ${\displaystyle i}$, sea ${\displaystyle P_{i}}$ su partición de información, ${\displaystyle q_{i}}$ be ${\displaystyle i}$ la Probabilidad a posteriori y sea ${\displaystyle s_{i}\colon \Omega \rightarrow A_{i}}$, asignando el mismo valor a estados en la misma celda de ${\displaystyle i}$ la partición de información. Entonces ${\displaystyle ((\Omega ,\pi ),P_{i},s_{i})}$ es un equilibrio correlacionado del juego estratégico ${\displaystyle (N,A_{i},u_{i})}$ si para cada jugador ${\displaystyle i}$ y por cada modificación de estrategia ${\displaystyle \phi _{i}}$:

${\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }q_{i}(\omega )u_{i}(s_{i}(\omega ),s_{-i}(\omega ))\geq \sum _{\omega \in \Omega }q_{i}(\omega )u_{i}\left(\phi _{i}\left(s_{i}(\omega )\right),s_{-i}(\omega )\right)}$

En otras palabras, ${\displaystyle ((\Omega ,\pi ),P_{i})}$ es un equilibrio correlacionado si ningún jugador puede mejorar su utilidad esperada mediante una modificación de estrategia.