Equivalencia de métricas

Se dice que las dos métricas ${\displaystyle d_{1}}$ y ${\displaystyle d_{2}}$ son topológicamente equivalentes si generan la misma topología en ${\displaystyle X}$. A menudo se omite el adverbio topológicamente.^[1] Hay múltiples formas de expresar esta condición:

• Un subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$ es ${\displaystyle d_{1}}$-abierto si y solo si es ${\displaystyle d_{2}}$-abierto;
• El nido de bolas abiertas: para cualquier punto ${\displaystyle x\in X}$ y cualquier radio ${\displaystyle r>0}$, existen radios ${\displaystyle r',r''>0}$ tales que :${\displaystyle B_{r'}(x;d_{1})\subseteq B_{r}(x;d_{2}){\text{and }}B_{r''}(x;d_{2})\subseteq B_{r}(x;d_{1}).}$
• La función identidad ${\displaystyle I:(X,d_{1})\to (X,d_{2})}$ es continua con inversa continua, es decir, es un homeomorfismo.

Las siguientes son condiciones suficientes pero no necesarias para la equivalencia topológica:

• Existe una función subaditiva estrictamente creciente y continua ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$, tal que ${\displaystyle d_{2}=f\circ d_{1}}$.^[2]
• Para cada ${\displaystyle x\in X}$, existen constantes positivas ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ tales que, para cada punto ${\displaystyle y\in X}$, :${\displaystyle \alpha d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \beta d_{1}(x,y).}$

Dos métricas ${\displaystyle d_{1}}$ y ${\displaystyle d_{2}}$ en X son fuertemente, equivalentemente bilipschitzianas o uniformemente equivalentes si y solo si existen constantes positivas ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ tales que, para cada ${\displaystyle x,y\in X}$,

${\displaystyle \alpha d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \beta d_{1}(x,y).}$

En contraste con la condición suficiente para la equivalencia topológica mencionada anteriormente, la equivalencia fuerte requiere que haya un único conjunto de constantes que se cumpla para cada par de puntos en ${\displaystyle X}$, en lugar de constantes potencialmente diferentes asociadas con cada punto de ${\displaystyle X}$.

Una equivalencia fuerte de dos métricas implica equivalencia topológica, pero no al revés. Por ejemplo, las métricas ${\displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}$ y ${\displaystyle d_{2}(x,y)=|\tan(x)-\tan(y)|}$ en el intervalo ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$ son topológicamente equivalentes, pero no fuertemente equivalentes. De hecho, este intervalo está acotado según una de estas métricas pero no según la otra. Por otro lado, las equivalencias fuertes siempre hacen corresponder conjuntos acotados a conjuntos acotados.

Cuando X es un espacio vectorial y las dos métricas ${\displaystyle d_{1}}$ y ${\displaystyle d_{2}}$ son las inducidas por las normas ${\displaystyle \|\cdot \|_{A}}$ y ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$, respectivamente, entonces la equivalencia fuerte es equivalente a la condición de que, para todo ${\displaystyle x\in X}$,

${\displaystyle \alpha \|x\|_{A}\leq \|x\|_{B}\leq \beta \|x\|_{A}}$

Para operadores lineales entre espacios vectoriales normados, la continuidad lipschitziana es equivalente a la continuidad. Un operador que satisface cualquiera de estas condiciones se llama acotado.^[3] Por lo tanto, en este caso, ${\displaystyle d_{1}}$ y ${\displaystyle d_{2}}$ son topológicamente equivalentes si y solo si son fuertemente equivalentes, y simplemente se dice que las normas ${\displaystyle \|\cdot \|_{A}}$ y ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$ son equivalentes.

En espacios vectoriales de dimensión finita, todas las métricas inducidas por una norma, incluidas la distancia euclidiana, la geometría del taxista y la distancia de Chebyshov, son equivalentes.^[4]