Espacio-tiempo esféricamente simétrico

Una métrica popular,^[1] utilizada en el estudio de la inflación masiva, es

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=-{\frac {dt^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\beta _{r}^{2}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)^{2}+r^{2}\,g(\Omega ).}$

Aquí, ${\displaystyle g(\Omega )}$ es la métrica estándar en la unidad de radio de 2 esferas ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$ . La coordenada radial ${\displaystyle r}$ se define para que sea el radio circunferencial, es decir, para que la circunferencia adecuada en el radio ${\displaystyle r}$ sea ${\displaystyle 2\pi r}$ . En esta elección de coordenadas, el parámetro ${\displaystyle \beta _{t}}$ se define para que ${\displaystyle \beta _{t}=dr/d\tau }$ es la tasa de cambio adecuada del radio circunferencial (es decir, donde ${\displaystyle \tau }$ es el tiempo propio). El parámetro ${\displaystyle \beta _{r}}$ puede interpretarse como la derivada radial del radio circunferencial en un marco de caída libre; esto se hace explícito en el formalismo de la tétrada.

Tenga en cuenta que la métrica anterior se escribe como una suma de cuadrados y, por lo tanto, puede entenderse que codifica explícitamente un vierbein y, en particular, una tétrada ortonormal. Es decir, el tensor métrico se puede escribir como un retroceso de la métrica de Minkowski ${\displaystyle \eta _{ij}}$ :

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{ij}\,e_{\;\mu }^{i}\,e_{\;\nu }^{j}}$

donde ${\displaystyle e_{\;\mu }^{i}}$ es el vierbein inverso. La convención aquí y en lo que sigue es que los índices romanos se refieren al marco de tétrada ortonormal plano, mientras que los índices griegos se refieren al marco de coordenadas. El vierbein inverso se puede leer directamente de la métrica anterior como

${\displaystyle e_{\;\mu }^{t}dx^{\mu }={\frac {dt}{\alpha }}}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{r}dx^{\mu }={\frac {1}{\beta _{r}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{\theta }dx^{\mu }=rd\theta }$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{\phi }dx^{\mu }=r\sin \theta d\phi }$

donde se tomó la firma para ser ${\displaystyle (-+++)}$ . Escrito como una matriz, el vierbein inverso es

${\displaystyle e_{\;\mu }^{i}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\alpha }}&0&0&0\\-{\frac {\beta _{t}}{\alpha \beta _{r}}}&{\frac {1}{\beta _{r}}}&0&0\\0&0&r&0\\0&0&0&r\sin \theta \\\end{bmatrix}}}$

El vierbein en sí es el inverso (transposición) del vierbein inverso

${\displaystyle e_{i}^{\;\mu }={\begin{bmatrix}\alpha &\beta _{t}&0&0\\0&\beta _{r}&0&0\\0&0&{\frac {1}{r}}&0\\0&0&0&{\frac {1}{r\sin \theta }}\\\end{bmatrix}}}$

Es decir, ${\displaystyle (e_{\;\mu }^{i})^{T}e_{i}^{\;\nu }=e_{\mu }^{\;\;i}e_{i}^{\;\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }}$ es la matriz de identidad

La forma particularmente simple de lo anterior es un factor de motivación principal para trabajar con la métrica dada.

El vierbein relaciona los campos vectoriales en el marco de coordenadas con los campos vectoriales en el marco de la tétrada, como

${\displaystyle \partial _{i}=e_{i}^{\;\mu }{\frac {\partial \;\;}{\partial x^{\mu }}}}$

Los más interesantes de estos dos es ${\displaystyle \partial _{t}}$ el cual es el tiempo apropiado en el marco de descanso, y ${\displaystyle \partial _{r}}$ que es la derivada radial en ese marco. Por construcción, como se señaló anteriormente, ${\displaystyle \beta _{t}}$ fue la tasa de cambio adecuada del radio circunferencial; esto ahora se puede escribir explícitamente como

${\displaystyle \beta _{t}=\partial _{t}r}$

Del mismo modo, uno tiene

${\displaystyle \beta _{r}=\partial _{r}r}$

que describe el gradiente (en el marco de tétrada de caída libre) del radio circunferencial a lo largo de la dirección radial. Esto no está en unidad general; compárese, por ejemplo, con la solución estándar de Swarschild, o la solución Reissner-Nordström. El signo de ${\displaystyle \beta _{r}}$ determina efectivamente "en qué dirección está abajo"; el signo de ${\displaystyle \beta _{r}}$ distingue tramas entrantes y salientes, de modo que ${\displaystyle \beta _{r}>0}$ es un marco entrante, y ${\displaystyle \beta _{r}<0}$ es un marco saliente.

Estas dos relaciones en el radio circunferencial proporcionan otra razón por la cual esta parametrización particular de la métrica es conveniente: tiene una caracterización intuitiva simple.

La forma de conexión en el marco de la tétrada se puede escribir en términos de los símbolos de Christoffel ${\displaystyle \Gamma _{ijk}}$ en el marco de la tétrada, que están dados por

${\displaystyle \Gamma _{rtt}=-\partial _{r}\ln \alpha }$

${\displaystyle \Gamma _{rtr}=-\beta _{t}{\frac {\partial \ln \alpha }{\partial r}}+{\frac {\partial \beta _{t}}{\partial r}}-\partial _{t}\ln \beta _{r}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta t\theta }=\Gamma _{\phi t\phi }={\frac {\beta _{t}}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta r\theta }=\Gamma _{\phi r\phi }={\frac {\beta _{r}}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\phi \theta \phi }={\frac {\cot \theta }{r}}}$

y todos los demás cero.

Se puede encontrar un conjunto completo de expresiones para el tensor de Riemann, el tensor de Einstein y el escalar de curvatura de Weyl en Hamilton & Avelino.^[1] Las ecuaciones de Einstein se convierten en:

${\displaystyle \nabla _{t}\beta _{t}=-{\frac {M}{r^{2}}}-4\pi rp}$

${\displaystyle \nabla _{t}\beta _{r}=4\pi rf}$

dónde ${\displaystyle \nabla _{t}}$ es la derivada del tiempo covariante (y ${\displaystyle \nabla }$ la conexión Levi-Civita ), ${\displaystyle p}$ la presión radial (¡no la presión isotrópica!), y ${\displaystyle f}$ el flujo de energía radial. La masa ${\displaystyle M(r)}$ es la masa de Misner-Thorne o masa interior, dada por

${\displaystyle {\frac {2M}{r}}-1=\beta _{t}^{2}-\beta _{r}^{2}}$

Como estas ecuaciones son efectivamente bidimensionales, pueden resolverse sin dificultad abrumadora para una variedad de suposiciones sobre la naturaleza del material que cae (es decir, por la suposición de un agujero negro esféricamente simétrico que acumula polvo cargado o neutro, gas, plasma u materia oscura, de alta o baja temperatura, es decir, material con varias ecuaciones de estado.)

• De Sitter space

• Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2.  Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2.  Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2.