Espacio cociente (álgebra lineal)

En álgebra lineal, el espacio vectorial cociente E/F de un espacio vectorial E por un subespacio vectorial F, es la estructura natural de espacio vectorial sobre el conjunto cociente de E por la siguiente relación de equivalencia: v está relacionado con w si y solo si v-w pertenece a F.

Definición

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea F un subespacio vectorial de E, podemos definir la siguiente relación de equivalencia entre los elementos de E:

Dados $u,v\in E$ diremos que están relacionados módulo $F\,$ si $u-v\in F$ .

La relación anterior es una relación de equivalencia
Se considera la relación $x{\mathcal {R}}y:=\langle x-y\in F\rangle$ y se comprueban: Propiedad reflexiva: Dado un elemento $x\in E$ se tiene que $x-x={\vec {0}}\in F.$ Propiedad de simetría: Dados dos elementos $x,y\in E$ se tiene que si $x-y=v\in F$ entonces $-v\in F$ es decir $y-x\in F.$ Propiedad transitiva: Dados tres elementos $x,y,z\in E$ se tiene que si $x-y\in F$ y $y-z\in F$ entonces $F\ni (x-y)+(y-z)=x-z$ es decir $x-z\in F.$

Observación: $u-v\in F$ equivale a $u-v=w,w\in F$ , es decir, $u=v+w,w\in F$ y abusando del lenguaje $u=v+F.$

Se denota por

[u]=u+F:=\{u+v:v\in F\}

=\{w:w=u+v,\;v\in F\}

a la clase de

u\,

módulo

F\,

.

Llamaremos espacio cociente al conjunto de todos los elementos que cumplen las clases de equivalencia anterior:

Se nota por

E/F_{}^{}

a dicho espacio cociente.

El espacio $E/F_{}^{}$ es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

${\begin{matrix}[u]+[v]&:=&[u+v]\\\;\;\;\;\;\;\;\lambda [u]&:=&[\lambda u]\;\;\;\;\end{matrix}}$
La suma y multiplicación están definidas por ser $F\,$ un subespacio vectorial: $[u]+[v]=(u+F)+(v+F)=u+v+(F+F)$ $=u+v+F$ $=[u+v]\in E/F.$ Propiedad conmutativa: $[u]+[v]=[u+v]=[v+u]=[v]+[u].$ Propiedad asociativa: $[u]+([v]+[w])=[u]+[v+w]=[u+(v+w)]=[(u+v)+w]=[u+v]+[w]=([u]+[v])+[w].$ Existencia del elemento neutro: $[0]+[v]=[0+v]=[v].$ Existencia del elemento opuesto: $[u]+[-u]=[u-u]=[0].$ $\lambda [u]=\lambda (u+F)=\lambda u+\lambda F$ $=\lambda u+F$ $=[\lambda u]\in E/F.$ Propiedad asociativa: $\alpha (\lambda [u])=\alpha [\lambda u]=[\alpha (\lambda u)]=[(\alpha \lambda )u]$ $=(\alpha \lambda )[u].$ Propiedad del elemento neutro de K: $1[u]=[1u]=[u].$ Propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores: $\lambda ([u]+[v])=\lambda [u+v]=[\lambda (u+v)]=[\lambda u+\lambda v]$ $=[\lambda u]+[\lambda v]$ $=\lambda [u]+\lambda [v].$ Propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares: $(\lambda +\alpha )[u]=[(\lambda +\alpha )u]=[\lambda u+\alpha u]=[\lambda u]+[\alpha u]$ $=\lambda [u]+\alpha [u]$

Observaciones

Si $u\in v+F$ $\Leftrightarrow u+F=v+F$ $\Leftrightarrow [u]=[v]$ , por constituir $E/F$ una partición de $E\,.$

Si $u\in F$ $\Leftrightarrow u\in [0].$

Si $u\not \in F$ , $\langle u\rangle \cap \;(u+F)\neq \emptyset$ $\Leftrightarrow \lambda u=u+v,v\in F$ $\Leftrightarrow (\lambda -1)u\in F$ $\Leftrightarrow \lambda =1.$

Los elementos de $[u]:\;[u]\neq [0]$ no son un espacio vectorial en $E\,$ pues no tiene el elemento neutro ${\vec {0}}.$
Esta estructura vectorial es la única en el cociente que hace a la proyección canónica lineal.

Dimensión del espacio cociente

Si $E\,$ es un espacio vectorial y $F\subset E$ es un subespacio, entonces el espacio cociente $E/F$ es isomorfo a cualquier complemento de $F$ en $E$ , es decir, a cualquier subespacio $G$ de $E$ tal que $E$ se pueda escribir como la suma directa $F\oplus G$ .^[1] Como consecuencia, $E$ es isomorfo a la suma directa $F\oplus E/F$ , por lo que la dimensión de $E$ verifica

\dim E=\dim F+\dim E/F

.

A la dimensión del espacio cociente $E/F$ también se la denomina codimensión de $F$ en $E$ .^[1]

Si la dimensión de $E$ es finita, también lo es la dimensión de $F$ y entonces se puede escribir

\dim E/F=\dim E-\dim F

.

Si $E$ es de dimensión finita, entonces $E/F$ es de dimensión finita $\dim E/F=\dim E-\dim F$ .
Sean $m=\dim F$ , $n=\dim E$ y $u_{1},...,u_{m}$ una base de $F.$ Se puede completar la base hasta obtener una de $E$ , ${u_{1},...,u_{m},u_{m+1},...,u_{n}}$ . $\forall u\in E,\;u=\sum _{i=1}^{n}k_{i}u_{i}$ . Tomando clases, $[u]=\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}[u_{i}]$ , pues $[u_{1}]=...=[u_{m}]=[0]$ (ya que $u_{1},...,u_{m}\in F$ ). Luego, se tiene que $[u_{m+1}],...,[u_{n}]$ generan $E/F.$ Para ver que son linealmente independientes, supóngase que: $[0]=\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}[u_{i}]=[\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}]$ , entonces, $\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}$ pertenece a $F$ , en consecuencia, existen $k_{1},...,k_{m}$ tales que $\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}=\sum _{i=1}^{m}k_{i}u_{i}$ . Por la independencia lineal de $u_{1},...,u_{n}$ , se sigue que $k_{m+1},...,k_{n}=0$ . Por lo tanto, $u_{m+1},...,u_{n}$ son una base de $E/F$ y $\dim E/F=n-m=\dim E-\dim F.$

Ejemplo

Sea $F\,$ un subespacio vectorial de $\mathbb {R} ^{2}$ generado por un vector $v\,$ , $F=\langle v\rangle$ , si se considera el espacio cociente $\mathbb {R} ^{2}/F$ la clase de un vector $u\in \mathbb {R} ^{2}$ será: