Espacio de Asplund
From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemáticas, más específicamente en análisis funcional, un espacio de Asplund[1] o espacio de diferenciabilidad fuerte es un tipo de espacio de Banach bien domado. Los espacios de Asplund fueron introducidos en 1968 por el matemático Edgar Asplund, que estaba interesado en las propiedades de la diferenciabilidad de Fréchet de las funciones lipschitzianas en los espacios de Banach.
Hay muchas definiciones equivalentes de lo que significa que un espacio de Banach X sea un espacio de Asplund:
- X es de Asplund si, y solo si, cada subespacio separable Y de X tiene un espacio dual Y∗ separable.
- X es de Asplund si, y solo si, cada función convexa continua sobre cualquier subconjunto convexo abierto U de X es diferenciable de Fréchet en los puntos de un subconjunto Gδ denso de U.
- X es de Asplund si, y solo si, su espacio dual X∗ posee la propiedad de Radon-Nikodým. Esta propiedad fue establecida por Namioka & Phelps en 1975, y por Stegall en 1978.
- X es de Asplund si, y solo si, cada subconjunto acotado no vacío de su espacio dual X∗ tiene rebanadas *débiles de diámetro arbitrariamente pequeño.
- X es de Asplund si y solo si cada subconjunto compacto *débilmente convexo no vacío del espacio dual X∗, es la envolvente convexa *débilmente cerrada de sus *débilmente puntos expuestos fuertemente. En 1975, Huff y Morris demostraron que esta propiedad es equivalente a la afirmación de que todo subconjunto acotado, cerrado y convexo del espacio dual X∗ es una envolvente convexa cerrada de sus puntos extremos.
