Espacio vectorial conveniente

La propiedad clave es la de ${\displaystyle \scriptstyle c^{\infty }}$-completitud. Un espacio ${\displaystyle \scriptstyle E}$ tiene esta propiedad si se cumple alguna de las tres propiedades siguientes:^[1]

1. Cualquier sucesión de Mackey-Cauchy converge (una secuencia es de Mackey-Cauchy si converge en el sentido de Mackey hacia 0, es decir, es Mackey-convergente hacia 0. Una sucesión ${\displaystyle \scriptstyle (x_{n})}$ converge a x en el sentido de Mackey si existe una sucesión ${\displaystyle \scriptstyle (\lambda _{n}):\ 0<\lambda _{n}\to \infty }$ tal que ${\displaystyle \scriptstyle (\lambda _{n}(x_{n}-x))}$ es acotada).
2. Si ${\displaystyle \scriptstyle B\subset E}$ es un conjunto cerrado, acotado y absolutamente convexo, entonces el espacio lineal generado por ${\displaystyle \scriptstyle E_{B}=\mathrm {span} (B)\subset E}$ es un espacio de Banach.
3. Cualquier curva lipshitziana en ${\displaystyle \scriptstyle E}$ es localmente integrable en el sentido de Riemann.
4. Para cualquier ${\displaystyle \scriptstyle c_{1}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)}$ existe un ${\displaystyle \scriptstyle c_{2}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)}$ tal que ${\displaystyle \scriptstyle c_{1}=c'_{2}}$ (existencia de antiderivada).

• A. Kriegl y P. W. Michor: "Aspects of the theory of inifinite dimensional manifolds", Differential Geometry and its Applications, 1, 1991, pp. 159-176.