Espiral de Teodoro

Teodoro finalizó su espiral en el triángulo rectángulo de hipotenusa √17. Si la espiral continua con la construcción de infinitos triángulos, surgen muchas características y propiedades interesantes.

Cada una de las hipotenusas de los triángulos h_i (que se corresponden con los radios de la espiral) dan la raíz cuadrada para el número natural consecutivo, con h₁ = √2, h₂ = √3, h₃ = √4=2 y así sucesivamente.

En 1958, Erich Teuffel demostró que no hay dos hipotenusas de los triángulos con los que se construye la hélice, que coincidan sobre el mismo radio. Además, si los catetos que miden una unidad de longitud se prolongan mediante una línea recta, nunca pasarán a través de ningún otro de los vértices de la espiral.^[3][4]

Si φ_n es el ángulo del n-ésimo triángulo (o segmento de espiral), entonces:

${\displaystyle \tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.}$

Por lo tanto, el crecimiento del ángulo φ_n del siguiente triángulo n es:^[5]

${\displaystyle \varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).}$

La suma de los ángulos de los primeros k triángulos, se designa ángulo total φ(k) del k triángulo, y es igual a:

${\displaystyle \varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)}$

con

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots .}$

El crecimiento del radio de la espiral hasta un cierto triángulo n es

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.}$

Dado que el incremento del radio en cada vuelta tiende a Π, a medida que se incrementa el número de vueltas, la longitud de la espira tiende a crecer en cada vuelta:

${\displaystyle \Delta l=2\Pi \Delta r=2\Pi ^{2}=19.7392088022...}$

y el área de cada espira, tiende a incrementarse respecto a la anterior en:

${\displaystyle \Delta S=\Delta l\Delta r=2\Pi ^{2}\Pi =2\Pi ^{3}=62.0125533606...}$

La espiral de Teodoro se aproxima a una espiral de Arquímedes^[5] con la expresión:

${\displaystyle \,r=1.078891298+(1/2)\theta }$

La distancia entre dos brazos consecutivos de la espiral de Arquímedes es proporcional a pi. Cuando el número de giros de la espiral de Teodoro tiende a infinito, la distancia entre dos brazos de espiral consecutivos se aproxima rápidamente a π.

La siguiente tabla muestra la distancia media entre cada brazo de la espiral de Teodoro y el anterior, aproximándose a π:

Revolución o brazo No.:	Promedio calculado de la distancia entre un brazo y el anterior	Exactitud en comparación a π
2	3.1592037	99.44255%
3	3.1443455	99.91245%
4	3.14428	99.91453%
5	3.142395	99.97447%
→ ∞	→ π	→ 100%

Como puede verse, después de la quinta vuelta de la espiral,^[1] la distancia tiene un exactitud aproximada de 99.97% con respecto al valor de π.

La pregunta de cómo interpolar los puntos discretos de la espiral de Teodoro mediante una curva suave, se propuso y fue resuelta (Davis, 2001, pp. 37–38) por analogía con la fórmula de Euler para la función gamma como interpolante para la función factorial. Davis encontró la función

${\displaystyle T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )}$

que fue estudiada más a fondo por su alumno Leader^[6] y por Iserles (en un apéndice a (Davis, 2001)). Una caracterización axiomática de esta función se da en (Gronau, 2004) como la única función que satisface la ecuación funcional

${\displaystyle f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),}$

la condición inicial ${\displaystyle f(0)=1,}$ y la condición monótona tanto del argumento como del módulo. También se estudian condiciones alternativas y debilitamientos. Una deducción alternativa se da en (Heuvers, Moak y Boursaw, 2000).

En (Waldvogel, 2009) se da una continuación analítica de la forma continua de Davis de la espiral de Teodoro que se extiende en dirección opuesta a la del origen.