Esquema FTCS

En análisis numérico, el método FTCS (forward time-centered space) es un método de diferencias finitas utilizado para resolver numéricamente la ecuación del calor y otras ecuaciones parabólicas en derivadas parciales similares.^[1] Es un método de primer orden en el tiempo, explícito en el tiempo, y es condicionalmente estable cuando se aplica a la ecuación del calor. Cuando se utiliza como método para ecuaciones de advección, o más generalmente ecuaciones hiperbólicas en diferenciales parciales , es inestable a menos que se incluya viscosidad artificial. La abreviatura FTCS fue utilizada por primera vez por Patrick Roache.^[2]^[3]

El método FTCS se basa en el método de Euler hacia adelante en el tiempo (de ahí «tiempo hacia adelante») y en la diferencia central en el espacio (de ahí «espacio centrado»), lo que proporciona una convergencia de primer orden en el tiempo y una convergencia de segundo orden en el espacio. Por ejemplo, en una dimensión, si la ecuación diferencial parcial es

{\frac {\partial u}{\partial t}}=F\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)

entonces, dejando $u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$ , El método de Euler hacia adelante viene dado por:

{\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n}\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)

La función $F$ debe discretizarse espacialmente con un esquema de diferencia central. Se trata de un método explícito, lo que significa que $u_{i}^{n+1}$ puede calcularse explícitamente (sin necesidad de resolver un sistema de ecuaciones algebraicas) si se conocen los valores de $u$ en el nivel de tiempo anterior $(n)$ . El método FTCS es computacionalmente económico, ya que se trata de un método explícito.

Ilustración: ecuación del calor unidimensional

El método FTCS se aplica a menudo a problemas de difusión. Como ejemplo, para la ecuación del calor unidimensional,

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}

el esquema FTCS viene dado por:

{\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=\alpha {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}

o, dejando $r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}$ :

u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)

Estabilidad

Según se deriva del análisis de estabilidad de von Neumann, el método FTCS para la ecuación de calor unidimensional es numéricamente estable si y solo si se cumple la siguiente condición:

\Delta t\leq {\frac {\Delta x^{2}}{2\alpha }}.

Es decir, la elección de $\Delta x$ y $\Delta t$ debe satisfacer la condición anterior para que el esquema FTCS sea estable. En dos dimensiones, la condición se convierte en

\Delta t\leq {\frac {1}{2\alpha \left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{\Delta y^{2}}}\right)}}.

Si elegimos ${\textstyle h=\Delta x=\Delta y=\Delta z}$ , entonces las condiciones de estabilidad se convierten en ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(2\alpha )}$ , ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(4\alpha )}$ y ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(6\alpha )}$ para aplicaciones unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales, respectivamente.^[4]

Una desventaja importante del método FTCS es que, para problemas con una difusividad $\alpha$ grande, los tamaños de paso satisfactorios pueden ser demasiado pequeños para ser prácticos.

Para las ecuaciones hiperbólicas en diferenciales parciales , el problema de prueba lineal es la ecuación de advección de coeficiente constante ecuación de advección, en contraposición a la ecuación del calor (o ecuación de difusión), que es la elección correcta para una ecuación parabólica en derivadas parciales. Es bien sabido que para estos problemas hiperbólicos, cualquier elección de $\Delta t$ da como resultado un esquema inestable.^[5]

Ilustración: ecuación del calor unidimensional

Estabilidad

Referencias

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