Estructura cristalina cúbica del diamante

La estructura cúbica del diamante se encuentra en el Fd3m grupo espacial Fd3m (grupo espacial 227), que sigue la red de Bravais cúbica centrada en caras, que describe un patrón repetitivo. Para los cristales cúbicos de diamante, esta red está decorada con un motivo de dos átomos enlazados tetraédricamente en cada celda primitiva, separados por 1/4 del ancho de la celda unitaria en cada dimensión.^[1] La red del diamante puede verse como un par de redes cúbicas centradas en cara que se intersecan, separadas entre sí por 1/4 del ancho de la celda unitaria en cada dimensión. Muchos materiales semiconductores, como el arseniuro de galio, el ß-carburo de silicio y antimoniuro de indio, adoptan la estructura de la blenda análoga, en la que cada átomo tiene vecinos más cercanos de un elemento diferente. El grupo espacial de la blenda de zinc es F43m, pero muchas de sus propiedades estructurales son bastante similares a la estructura del diamante.^[2]

El factor de empaquetamiento atómico de la estructura cúbica del diamante (la proporción de espacio que ocuparían esferas centradas en los vértices de la estructura y lo más grandes posible sin superponerse) es ${\displaystyle {\tfrac {\pi {\sqrt {3}}}{16}}\approx 0.34,}$^[3] significativamente menor (lo que indica una estructura menos densa) que los factores de empaquetamiento para redes cúbicas centradas en las caras y centradas en el cuerpo. Las estructuras de blenda de zinc^[4] tienen factores de empaquetamiento superiores a 0,34, dependiendo de los tamaños relativos de sus dos átomos componentes.

Las distancias entre el primer, segundo, tercer, cuarto y quinto vecino más cercano, expresadas en unidades de la constante de red cúbica, son ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {11}}{4}},1,{\tfrac {\sqrt {19}}{4}},}$ respectivamente.

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Matemáticamente, los puntos de la estructura cúbica del diamante pueden representarse mediante coordenadas como un subconjunto de una estructura tridimensional de un retículo entero, utilizando una celda unitaria cúbica de cuatro unidades de lado. Con estas coordenadas, los puntos de la estructura tienen coordenadas (x, y, z) que satisfacen las ecuaciones^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}x=y&=z\ ({\text{mod }}\ 2),\\x+y+z&=0{\text{ o }}1\ ({\text{mod }}\ 4).\end{aligned}}}$$

Hay ocho puntos (módulo = 4) que satisfacen estas condiciones:

(0,0,0), (0,2,2), (2,0,2), (2,2,0),

(3,3,3), (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3)

Todos los demás puntos de la estructura se pueden obtener sumando múltiplos de cuatro a las coordenadas x, y, z de estos ocho puntos. Los puntos adyacentes en esta estructura se encuentran a una distancia ⁠${\displaystyle {\sqrt {3}}}$⁠ en la red entera; las aristas de la estructura de diamante se sitúan en las diagonales de los cubos de la cuadrícula entera. Esta estructura se puede escalar a una celda unitaria cúbica de a unidades de diámetro multiplicando todas las coordenadas por a/4.

Alternativamente, cada punto de la estructura cúbica del diamante se puede definir mediante coordenadas enteras de cuatro dimensiones cuya suma sea cero o uno. Dos puntos son adyacentes en la estructura de diamante si y solo si sus coordenadas tetradimensionales difieren en una unidad en una sola coordenada. La diferencia total en los valores de las coordenadas entre dos puntos cualesquiera (sus coordenadas tetradimensionales según la geometría del taxista) da el número de aristas en la red para el problema del camino más corto que los une en la estructura del diamante. Los cuatro vecinos más cercanos de cada punto se pueden obtener, en este sistema de coordenadas, sumando uno a cada una de las cuatro coordenadas, o restando uno a cada una de ellas, según la suma de las coordenadas sea cero o uno. Estas coordenadas tetradimensionales se pueden transformar en coordenadas tridimensionales mediante la fórmula:^[5][6]

$${\displaystyle (a,b,c,d)\to (a+b-c-d,\ a-b+c-d,\ -a+b+c-d).}$$

Dado que la estructura de diamante forma un subconjunto que preserva la distancia de la red entera tetradimensional, es un cubo parcial.^[6]

Otra representación coordenada del cubo del diamante implica la eliminación de algunas aristas de un grafo de cuadrícula tridimensional. En este sistema, que presenta una geometría distorsionada respecto a la estructura cúbica del diamante estándar, pero con la misma estructura topológica, los vértices del cubo del diamante se representan mediante todos los puntos posibles de la cuadrícula 3D, y las aristas se representan mediante un subconjunto de las aristas de la cuadrícula 3D.^[7]

La estructura cúbica de diamante a veces se denomina "red de diamante", pero matemáticamente no es una red: por ejemplo, no existe ninguna simetría traslacional que transforme el punto (0,0,0) en el punto (3,3,3). Sin embargo, sigue siendo una estructura altamente simétrica: cualquier par incidente formado por un vértice y una arista puede transformarse en cualquier otro par incidente mediante una congruencia del espacio euclídeo. Además, el cristal de diamante, como red espacial, posee una fuerte propiedad isotrópica.^[8] Es decir, para cualesquiera dos vértices x, y de la red cristalina, y para cualquier ordenamiento de las aristas adyacentes a x y cualquier ordenamiento de las aristas adyacentes a y, existe una congruencia que preserva la red, transformando x en y y cada arista x en la arista y ordenada de manera similar. Otro cristal (hipotético) con esta propiedad es el grafo de Laves (también llamado cristal K₄, (10,3)-a, o gemelo del diamante).^[9]

La resistencia a la compresión y la dureza de diamante y otros materiales, como el nitruro de boro,^[10] (que tiene la estructura de la blenda de cinc, estrechamente relacionada), se atribuyen a la estructura cúbica del diamante.

De manera similar, los sistemas de vigas en celosía que siguen la geometría cúbica del diamante tienen una alta capacidad para soportar la compresión, al minimizar la longitud sin refuerzo de los arriostramientos individuales.^[11] La geometría cúbica del diamante también se ha considerado para proporcionar rigidez estructural,^[12][13] aunque se ha descubierto que las estructuras compuestas por triángulos de barras, como la malla de octetos, son más efectivas para este propósito.