Explosión (matemáticas)

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El caso más simple de una explosión es la explosión de un punto en un plano. La mayoría de las características generales de la explosión se pueden observar en este ejemplo.

La explosión tiene una descripción sintética como correspondencia de incidencia. Debe recordarse que el grasmaniano ${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,2)}$ parametriza el conjunto de todas las rectas que pasan por un punto en el plano. La explosión del plano proyectivo ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ en el punto ${\displaystyle P}$, que se denota por ${\displaystyle X}$, es:

${\displaystyle X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {Gr} (1,2).}$

Aquí, ${\displaystyle Q}$ denota otro punto en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ y ${\displaystyle \ell }$ es un elemento de la variedad de Grassmann. ${\displaystyle X}$ es una variedad proyectiva porque es una subvariedad cerrada de un producto de variedades proyectivas. Incluye un morfismo natural ${\displaystyle \pi }$ a ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ que transforma el par ${\displaystyle (Q,\ell )}$ en ${\displaystyle Q}$. Este morfismo es un isomorfismo en el subconjunto abierto de todos los puntos ${\displaystyle (Q,\ell )\in X}$ con ${\displaystyle Q\neq P}$ porque la recta ${\displaystyle \ell }$ está determinada por esos dos puntos. Cuando ${\displaystyle Q=P}$, la recta ${\displaystyle \ell }$ puede ser cualquier recta que pase por ${\displaystyle P}$. Estas rectas corresponden al espacio de direcciones que pasa por ${\displaystyle P}$, el cual es isomorfo a ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$. Este ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ se denomina divisor excepcional y, por definición, es la proyección del espacio normal en ${\displaystyle P}$. Dado que ${\displaystyle P}$ es un punto, el espacio normal es el mismo que el espacio tangente, por lo que el divisor excepcional es isomorfo al espacio tangente proyectado en ${\displaystyle P}$.

Para obtener coordenadas en la explosión, se pueden escribir ecuaciones para la correspondencia de incidencia anterior. Se define ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ en coordenadas homogéneas ${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:X_{2}]}$, donde ${\displaystyle P}$ es el punto ${\displaystyle [P_{0}:P_{1}:P_{2}]}$. Por la condición de dualidad, ${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,2)}$ es isomorfo a ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$, por lo que se puede darle coordenadas homogéneas ${\displaystyle [L_{0}:L_{1}:L_{2}]}$. Una recta ${\displaystyle \ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]}$ es el conjunto de todos los ${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:X_{2}]}$ tales que ${\displaystyle X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0}$. Por lo tanto, la explosión se puede describir como:

${\displaystyle X={\bigl \{}{\bigl (}[X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}]{\bigr )}\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0{\bigr \}}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.}$

La explosión es un isomorfismo que se aleja de ${\displaystyle P}$, y al trabajar en el plano afín en lugar del plano proyectivo, se pueden obtener ecuaciones más simples para la explosión. Tras realizar una homografía, se puede asumir que ${\displaystyle P=[0:0:1]}$. Se escribe ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$ para las coordenadas en el plano afín ${\displaystyle \{X_{2}\neq 0\}}$. La condición ${\displaystyle P\in \ell }$ implica que ${\displaystyle L_{2}=0}$, por lo que se puede reemplazar el grassmanniano por ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$. Entonces, la explosión es de la variedad:

${\displaystyle {\bigl \{}{\bigl (}(x,y),[z:w]{\bigr )}\mid xz+yw=0{\bigr \}}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.}$

Es más común cambiar las coordenadas para invertir uno de los signos. En ese caso, la explosión se puede escribir como:

${\displaystyle \left\{{\bigl (}(x,y),[z:w]{\bigr )}\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0\right\}.}$

Esta ecuación es más fácil de generalizar que la anterior.

La explosión se puede visualizar fácilmente si se elimina el punto infinito del grassmanniano, por ejemplo, estableciendo ${\displaystyle w=1}$, y se obtiene la ecuación estándar del superficie del paraboloide ${\displaystyle y=xz}$ en el espacio tridimensional.

La explosión también se puede describir directamente usando coordenadas en el espacio normal al punto. Nuevamente, se trabaja en el plano afín ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}}$. El espacio normal al origen es el espacio vectorial ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$, donde ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x,y)}$ es el ideal máximo del origen. Algebraicamente, la proyectividad de este espacio vectorial es la construcción Proy de su álgebra simétrica, es decir,

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.}$

En este ejemplo, se describe concretamente como:

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw),}$

donde ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$ tienen grado 0 y ${\displaystyle z}$ y ${\displaystyle w}$ tienen grado 1.

Sobre los números reales o complejos, la explosión tiene una descripción topológica como suma conexa ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}}$. Supóngase que ${\displaystyle P}$ es el origen en ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\subseteq \mathbf {P} ^{2}}$, y denótese ${\displaystyle L}$ como la recta del infinito. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\backslash \{0\}}$ tiene una aplicación de inversión ${\displaystyle {t}}$ que transforma ${\displaystyle (x,y)}$ en ${\displaystyle \left({\frac {x}{\vert x\vert ^{2}+\vert y\vert ^{2}}},{\frac {y}{\vert x\vert ^{2}+\vert y\vert ^{2}}}\right)}$. ${\displaystyle t}$ es inversiva con respecto a la esfera unitaria ${\displaystyle S}$: fija ${\displaystyle S}$, conserva cada línea que pasa por el origen e intercambia el interior de la esfera con el exterior. ${\displaystyle t}$ se extiende a una aplicación continua ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\backslash \{0\}\to \mathbf {A} ^{2}}$ enviando la recta del infinito al origen. Esta extensión, que también se denota como ${\displaystyle t}$, puede usarse para construir la explosión. Sea ${\displaystyle C}$ el complemento de la bola unitaria. La explosión ${\displaystyle X}$ es la variedad obtenida al adjuntar dos copias de ${\displaystyle C}$ a lo largo de ${\displaystyle S}$. ${\displaystyle X}$ viene con una aplicación ${\displaystyle \pi }$ a ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ que es la identidad en la primera copia de ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle t}$ en la segunda copia de ${\displaystyle C}$. Esta aplicación es un isomorfismo que se aleja de ${\displaystyle P}$, y la fibra sobre ${\displaystyle P}$ es la recta en el infinito en la segunda copia de ${\displaystyle C}$. Cada punto de esta recta corresponde a una recta única que pasa por el origen, por lo que la fibra sobre ${\displaystyle \pi }$ corresponde a las posibles direcciones normales que pasan por el origen.

Para ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$, este proceso debería producir una variedad orientada. Para que esto ocurra, las dos copias de ${\displaystyle C}$ deben tener orientaciones opuestas. En símbolos, ${\displaystyle X}$ es ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#{\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$, donde ${\displaystyle {\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$ es ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$ con la orientación opuesta a la estándar.

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Sea ${\displaystyle Z}$ el origen en el espacio n-dimensional complejo, ${\displaystyle \mathbf {C} ^{\,n}}$. Es decir, ${\displaystyle Z}$ es el punto donde las n funciones de coordenadas ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ se anulan simultáneamente. Sea ${\displaystyle \mathbf {P} ^{\,n-1}}$ un espacio proyectivo complejo de dimensión (n - 1) con coordenadas homogéneas ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$. Sea ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{\,n}}}}$ el subconjunto de ${\displaystyle \mathbf {C} ^{\,n}}$ × ${\displaystyle \mathbf {P} ^{\,n-1}}$ que satisface simultáneamente las ecuaciones ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$ para i, j = 1, ..., n. La proyección

${\displaystyle \pi$ :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}}

induce naturalmente una aplicación holomorfa

${\displaystyle \pi$ :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}.}

Esta aplicación π (o, a menudo, el espacio ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$) se denomina explosión de ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$.

El divisor excepcional ${\displaystyle E}$ se define como la imagen inversa del lugar geométrico ${\displaystyle Z}$ bajo π. Es fácil ver que

${\displaystyle E=Z\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}}$

es una copia del espacio proyectivo, y es un divisor efectivo. Fuera de ${\displaystyle E}$, π es un isomorfismo entre ${\displaystyle ({\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E)}$ y ${\displaystyle (\mathbf {C} ^{n}\setminus Z)}$; y también es una aplicación birracional entre ${\displaystyle ({\tilde {\mathbf {C} ^{n}}})}$ y ${\displaystyle (\mathbf {C} ^{n})}$.

Si en cambio se considera la proyección holomorfa:

${\displaystyle q\colon {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {P} ^{n-1}}$

se obtiene el haz de rectas tautológico de ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}}$ y se puede identificar el divisor excepcional ${\displaystyle \lbrace Z\rbrace \times \mathbf {P} ^{n-1}}$ con su sección cero, a saber, ${\displaystyle \mathbf {0} \colon \mathbf {P} ^{n-1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n-1}}}$, que asigna a cada punto ${\displaystyle p}$ el elemento cero ${\displaystyle \mathbf {0} _{p}}$ en la fibra sobre ${\displaystyle p}$.

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De forma más general, se puede explotar cualquier codimensión ${\displaystyle k}$ de una subvariedad compleja ${\displaystyle Z}$ de ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$. Supóngase que ${\displaystyle Z}$ es el lugar geométrico de las ecuaciones ${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0}$, y sean ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$ coordenadas homogéneas en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{k-1}}$. Entonces, la explosión ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} }}^{n}}$ es el lugar geométrico de las ecuaciones ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$ para todo ${\displaystyle 1\leq i,j\leq k}$, en el espacio ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{k-1}}$.

De forma aún más general, se puede explotar cualquier subvariedad de cualquier variedad compleja ${\displaystyle X}$ aplicando esta construcción localmente. El efecto es, como antes, reemplazar el lugar geométrico de explosión ${\displaystyle Z}$ por el divisor excepcional ${\displaystyle E}$. En otras palabras, la aplicación de explosión

${\displaystyle \pi$ :{\tilde {X}}\to X}

es una aplicación birracional que, fuera de ${\displaystyle E}$, induce un isomorfismo y, en ${\displaystyle E}$, un fibrado localmente trivial con fibra ${\displaystyle \mathbf {P} ^{k-1}}$. En efecto, la restricción ${\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z}$ se interpreta naturalmente como la proyectividad de un haz normal de ${\displaystyle Z}$ en ${\displaystyle X}$.

Dado que ${\displaystyle E}$ es un divisor liso (de codimensión 1), su fibrado normal es un haz de rectas. Es fácil demostrar que ${\displaystyle E}$ se interseca a sí mismo negativamente. Esto significa que su fibrado normal no posee secciones holomorfas; ${\displaystyle E}$ es el único representante complejo liso de su clase de homología en ${\displaystyle {\tilde {X}}}$. Supóngase que ${\displaystyle E}$ pudiera perturbarse a sí mismo para formar otra subvariedad compleja de la misma clase. En ese caso, las dos subvariedades se intersecarían positivamente —como siempre lo hacen las subvariedades complejas—, lo que contradice la autointersección negativa de ${\displaystyle E}$. Por esta razón, el divisor se denomina excepcional.

Sea ${\displaystyle V}$ una subvariedad de ${\displaystyle X}$ distinta de ${\displaystyle Z}$. Si ${\displaystyle V}$ es disjunta de ${\displaystyle Z}$, entonces no se ve afectada esencialmente por la explosión a lo largo de ${\displaystyle Z}$. Sin embargo, si interseca a ${\displaystyle Z}$, entonces existen dos análogos distintos de ${\displaystyle V}$ en la explosión ${\displaystyle {\tilde {X}}}$. Uno es la transformación propia (o transformación estricta), que es la clausura de ${\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)}$; su fibrado normal en ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ es típicamente diferente del de ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle X}$. El otro es la transformación total, que incorpora parte o la totalidad de ${\displaystyle E}$, que esencialmente el retroceso de ${\displaystyle V}$ en cohomología.

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Para lograr la explosión en su mayor generalidad, sea X un esquema, y sea ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ un haz coherente de ideales sobre X. La ampliación de X con respecto a ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ es un esquema ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ junto con un morfismo

${\displaystyle \pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$

tal que el retroceso ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}}$ es un haz invertible, caracterizado por esta propiedad universal: para cualquier morfismo f: Y → X tal que ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$ es una gavilla invertible, f se factoriza únicamente a través de π.

Nótese que

${\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$

tiene esta propiedad; así es como se construye la explosión (véase también álgebra de Rees). Aquí Proj es la construcción Proy sobre haces graduados de anillos conmutativos.

Divisores excepcionales

El divisor excepcional de una ampliación ${\displaystyle \pi$ :\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X} es el subesquema definido por la imagen inversa del haz ideal ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, que a veces se denota como ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}}$. De la definición de explosión en términos de Proj se deduce que este subesquema E está definido por el haz ideal ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n+1}}$. Este haz ideal es también el ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ relativo para π.

π es un isomorfismo alejado del divisor excepcional, pero el divisor excepcional no necesita estar en el lugar excepcional de π. Es decir, π puede ser un isomorfismo en E. Esto sucede, por ejemplo, en la situación trivial en la que ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ya es un haz invertible. En particular, en tales casos el morfismo π no determina el divisor excepcional. Otra situación en la que el lugar excepcional puede ser estrictamente más pequeño que el divisor excepcional es cuando X tiene singularidades. Por ejemplo, sea X el cono afín sobre 'P¹ × P¹. X se puede dar como el lugar geométrico de fuga de xw − yz en A⁴. Los ideales (x, y) y (x, z) definen dos planos, cada uno de los cuales pasa por el vértice de X. Lejos del vértice, estos planos son hipersuperficies en X, por lo que la ampliación es un isomorfismo allí. El lugar excepcional de ampliación de cualquiera de estos planos está, por tanto, centrado sobre el vértice del cono y, en consecuencia, es estrictamente más pequeño que el divisor excepcional.

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Explosiones de subespacios lineales

Sea ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ un espacio proyectivo dimensional n. Se corrige un subespacio lineal L de dimensión d. Hay varias formas explícitas de describir la explosión de ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ a lo largo de L. Supóngase que ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ tiene coordenadas ${\displaystyle X_{0},\dots ,X_{n}}$. Después de cambiar las coordenadas, se puede suponer que ${\displaystyle L=\{X_{0}=\dots =X_{n-d}=0\}}$. La ampliación puede estar incrustada en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-d-1}}$. Sean ${\displaystyle Y_{0},\dots ,Y_{n-d}}$ las coordenadas del segundo factor. Debido a que L está definido por una secuencia regular, la explosión está determinada por la desaparición de los menores de la matriz de dos por dos.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X_{0}&\cdots &X_{n-d}\\Y_{0}&\cdots &Y_{n-d}\end{pmatrix}}.}$

Este sistema de ecuaciones equivale a afirmar que las dos filas son linealmente dependientes. Un punto ${\displaystyle P\in \mathbf {P} ^{n}}$ está en L si y solo si, cuando sus coordenadas se sustituyen en la primera fila de la matriz anterior, esa fila es cero. En este caso, no hay condiciones en Q. Sin embargo, si esa fila es distinta de cero, entonces la dependencia lineal implica que la segunda fila es un múltiplo escalar de la primera y, por lo tanto, que hay un punto único ${\displaystyle Q\in \mathbf {P} ^{n-d}}$ tal que ${\displaystyle (P,Q)}$ está en la ampliación.

A esta explosión también se le puede dar una descripción sintética como la correspondencia de incidencia

${\displaystyle \{(P,M)\colon P\in M,\,L\subseteq M\}\subseteq \mathbf {P} ^{n}\times \operatorname {Gr} (n,n-d+1),}$

donde ${\displaystyle \operatorname {Gr} }$ denota el grasmaniano de los subespacios dimensionales ${\displaystyle (n-d+1)}$ en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$. Para ver la relación con la puesta en coordenadas anterior, se observa que el conjunto de todos los ${\displaystyle M\in \operatorname {Gr} (n,n-d+1)}$ que contienen a L es isomorfo a un espacio proyectivo ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-d}}$. Esto se debe a que cada subespacio M es la unión lineal de L y un punto Q que no está en L, y dos puntos Q y Q' determinan el mismo M si y solo si tienen la misma imagen bajo la proyección de ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ lejos de L. Por lo tanto, el grassmanniano puede ser reemplazado por una copia de ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-d}}$. Cuando ${\displaystyle P\not \in L}$, solo hay un subespacio M que contiene P, la unión lineal de P y L. En las coordenadas anteriores, este es el caso en el que ${\displaystyle (X_{0},\dots ,X_{n-d})}$ no es el vector cero. El caso ${\displaystyle P\in L}$ corresponde a que ${\displaystyle (X_{0},\dots ,X_{n-d})}$ sea el vector cero, y en este caso se permite cualquier Q, es decir, cualquier M que contenga L es posible.

Explosión de intersecciones de curvas (análisis teórico)

Sean ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$ polinomios homogéneos genéricos de grado ${\displaystyle d}$ (lo que significa que sus variedades proyectivas asociadas se intersecan en los puntos ${\displaystyle d^{2}}$ mediante el teorema de Bézout). El siguiente morfismo proyectivo de esquemas proporciona un modelo para la explosión de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ en los puntos ${\displaystyle d^{2}}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow \\{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}}$

Observando las fibras se explica por qué esto es cierto: si se toma un punto ${\displaystyle p=[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}$, el diagrama de retroceso

${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t]}{sf(p)+tg(p)}}\right)&\rightarrow &{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\{\textbf {Spec}}(\mathbb {C} )&{\xrightarrow {[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}}&{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}}$

indica que la fibra es un punto siempre que ${\displaystyle f(p)\neq 0}$ o ${\displaystyle g(p)\neq 0}$, y la fibra es ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ si ${\displaystyle f(p)=g(p)=0}$.

En la explosión de Cⁿ descrita anteriormente, el uso de números complejos no era esencial. Las explosiones pueden realizarse sobre cualquier cuerpo. Por ejemplo, la explosión real de R² en el origen resulta en una banda de Möbius. De forma análoga, la explosión de la esfera bidimensional S² resulta en el plano proyectivo real.

La deformación del cono normal es una técnica de explosión utilizada para demostrar muchos resultados en geometría algebraica. Dado un esquema X y un subesquema cerrado V, se realiza la explosión:

${\displaystyle V\times \{0\}\ {\text{in}}\ Y=X\times \mathbf {C} \ {\text{or}}\ X\times \mathbf {P} ^{1}}$

Entonces

${\displaystyle {\tilde {Y}}\to \mathbf {C} }$

es una fibración. La fibra general es naturalmente isomorfa a X, mientras que la fibra central es la unión de dos esquemas: uno es la explosión de X a lo largo de V, y el otro es el cono normal de V con sus fibras completadas a espacios proyectivos.

Las explosiones también pueden realizarse en la categoría simpléctica, dotando a una variedad simpléctica de una estructura casi compleja compatible y procediendo con una explosión compleja. Esto tiene sentido desde un punto de vista puramente topológico. Sin embargo, dotar a la explosión de una forma simpléctica requiere cierta precaución, ya que no se puede extender arbitrariamente la forma simpléctica a través del divisor excepcional E. Es necesario modificar la forma simpléctica en un entorno de E, o realizar la explosión recortando un entorno de Z y colapsando la frontera de forma bien definida. Esto se comprende mejor utilizando el formalismo del corte simpléctico, del cual la explosión simpléctica es un caso especial. El corte simpléctico, junto con la operación inversa de la suma simpléctica, es el análogo simpléctico de la deformación al cono normal a lo largo de un divisor suave.

• Punto infinitamente cercano (en inglés)
• Resolución de singularidades (en inglés)

• Fulton, William (1998). Intersection Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98549-2.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
• McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (1998). Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. ISBN 0-19-850451-9.