Exponente de Hurst

En la literatura se han propuesto varios estimadores de la dependencia a largo plazo. El más antiguo y más conocido es el llamado análisis rango reescalado (R/S) popularizado por Mandelbrot y Wallis^[3][10] y basado en hallazgos hidrológicos previos de Hurst.^[1] Las alternativas incluyen DFA, Regresión de periodogramas,^[11] aggregate variances,^[12] local Whittle's estimator,^[13] análisis de ondículas,^[14][15] tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia.

Para estimar el exponente de Hurst, primero se debe estimar la dependencia del rango reescalado en el lapso de tiempo n de observación.^[7] Una serie temporal de longitud completa N se divide en un número de series temporales más cortas de longitud n = N, N/2, N/4, ... El rango promedio reescalado se calcula para cada valor de n.

Para una serie temporal (parcial) de longitud ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,}$, el rango reescalado se calcula de la siguiente manera:^[6][7]

1. Calcular la media;

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,.}$

2. Crear una serie ajustada a la media;

${\displaystyle Y_{t}=X_{t}-m\quad {\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,.}$

3. Calcular la serie de desviación acumulativa ${\displaystyle Z}$;

${\displaystyle Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}\quad {\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,.}$

4. Calcule el rango ${\displaystyle R}$;

${\displaystyle R(n)=\operatorname {max} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right)-\operatorname {min} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right).}$

5. Calcular la desviación estándar ${\displaystyle S}$;

${\displaystyle S(n)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-m\right)^{2}}}.}$

6. Calcule el rango reescalado ${\displaystyle R(n)/S(n)}$ y promedie sobre todas las series de tiempo parciales de longitud ${\displaystyle n.}$

El exponente de Hurst se estima ajustando una ley potencial ${\displaystyle \mathbb {E} [R(n)/S(n)]=Cn^{H}}$ a los datos. Esto se puede hacer trazando ${\displaystyle \log[R(n)/S(n)]}$ en función de ${\displaystyle \log n}$, y ajustando una línea recta; la pendiente de la línea da ${\displaystyle H}$ (un enfoque más basado en principios se ajusta a la ley de potencia de una manera de máxima probabilidad^[16]). Tal gráfico se llama diagrama de caja. Sin embargo, se sabe que este enfoque produce estimaciones sesgadas del exponente de la ley de potencia. Para ${\displaystyle n}$ pequeños hay una desviación significativa de la pendiente de 0.5. Anis y Lloyd^[17] estimó que los valores teóricos (es decir, para el ruido blanco) de la estadística R/S eran:

${\displaystyle \mathbb {E} [R(n)/S(n)]={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi }{2}}}}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n>340\end{cases}}}$

donde ${\displaystyle \Gamma }$ es la Función gamma de Euler. El exponente de R/S Hurst corregido por Anis-Lloyd se calcula como 0,5 más la pendiente de ${\displaystyle R(n)/S(n)-\mathbb {E} [R(n)/S(n)]}$.

Hasta el momento no se ha derivado ninguna teoría de distribución asintótica para la mayoría de los estimadores de exponentes de Hurst. Sin embargo, Weron^[18] usó bootstrapping para obtener formas funcionales aproximadas para los intervalos de confianza de los dos métodos más usados, para el método de Anis-Lloyd^[17] y el análisis R/S corregido:

Nivel	cota inferior	cota superior
90%	0.5 − exp(−7.35 log(log M) + 4.06)	exp(−7.07 log(log M) + 3.75) + 0.5
95%	0.5 − exp(−7.33 log(log M) + 4.21)	exp(−7.20 log(log M) + 4.04) + 0.5
99%	0.5 − exp(−7.19 log(log M) + 4.34)	exp(−7.51 log(log M) + 4.58) + 0.5

y para el análisis de fluctuaciones desestacionalizadas:

Nivel	cota inferior	cota superior
90%	0.5 − exp(−2.99 log M + 4.45)	exp(−3.09 log M + 4.57) + 0.5
95%	0.5 − exp(−2.93 log M + 4.45)	exp(−3.10 log M + 4.77) + 0.5
99%	0.5 − exp(−2.67 log M + 4.06)	exp(−3.19 log M + 5.28) + 0.5

Aquí ${\displaystyle M=log_{2}N}$ y ${\displaystyle N}$ es la longitud de la serie. En ambos casos sólo se consideraron subseries de longitud ${\displaystyle n>50}$ para estimar el exponente de Hurst; las subserie de menor longitud conducen a una alta varianza de las estimaciones de R/S.

El exponente básico de Hurst puede relacionarse con el tamaño esperado de los cambios, en función del retraso entre observaciones, medido por E(| X_t+τ-X_t|²). Para la forma generalizada del coeficiente, el exponente aquí se reemplaza por un término más general, denotado por q.

Existen una variedad de técnicas para estimar H, sin embargo, evaluar la precisión de la estimación puede ser un tema complicado. Matemáticamente, en una técnica, el exponente de Hurst se puede estimar de tal manera que:^[19][20]

H_q = H(q),

para una serie temporal

g(t) (t = 1, 2,...)

puede definirse por las propiedades de escala de sus funciones estructura S_q (${\displaystyle \tau }$):

${\displaystyle S_{q}=\langle |g(t+\tau )-g(t)|^{q}\rangle _{t}\sim \tau ^{qH(q)},\,}$

donde q > 0, ${\displaystyle \tau }$ es el desfase de tiempo y el promedio es sobre la ventana de tiempo

${\displaystyle t\gg \tau ,\,}$

por lo general, la escala de tiempo más grande del sistema.

Prácticamente, en la naturaleza, no hay límite de tiempo, y por lo tanto H no es determinista, ya que solo puede estimarse en función de los datos observados; por ejemplo, el movimiento diario al alza más dramático jamás visto en un índice bursátil siempre se puede superar durante algún día posterior.^[21]

En la técnica de estimación matemática anterior, la función H(q) contiene información sobre volatilidades generalizadas promediadas a escala ${\displaystyle \tau }$ (solo q = 1, 2 se usan para definir la volatilidad). En particular, el exponente H₁ indica comportamiento persistente (H₁ > 1/2) o antipersistente (H₁ < 1/2) de la tendencia.

Para el BRW (ruido marrón, 1/f²) se obtiene

H_q = 1/2,

y para ruido rosa (1/f)

H_q = 0.

El exponente de Hurst para ruido blanco es dependiente de la dimensión,^[22] y para 1D y 2D es

H^1D_q = -1/2 , H^2D_q = -1.

Para los populares proceso estable de Lévy es y proceso de Lévy truncado es con parámetro α se ha encontrado que

H_q = q/α para q < α y H_q = 1 para q ≥ α.

El análisis multifractal de flucutaciones desestacionalizadas^[23] es un método para estimar ${\displaystyle H(q)}$ a partir de series temporales no estacionarias. Cuando ${\displaystyle H(q)}$ es una función no lineal de q la serie temporal es un sistema multifractal.

En la definición anterior, dos requisitos separados se mezclan como si fueran uno.^[24] Estos son los dos requisitos independientes: i) estacionalidad de los incrementos, x(t+T)-x(t)=x(T)-x(0) en distribución. Esta es la condición que produce autocorrelaciones de larga data. (ii) Autosimilitud del proceso estocástico produce entonces escala de varianza, pero no es necesaria para la memoria a largo plazo. Por ejemplo, tanto proceso de Markov (es decir, procesos sin memoria) como movimiento browniano fraccional escalan a nivel de densidades de 1 punto (promedios simples), pero ninguna escala a nivel de correlaciones de pares o, correspondientemente, la densidad de probabilidad de 2 puntos. ^{[aclaración requerida]}

Un mercado eficiente requiere una condición martingale, y a menos que la varianza sea lineal en el tiempo esto produce incrementos no estacionarios, x(t+T)-x(t)≠x(T)-x(0). Las martingalas son markovianas a nivel de correlaciones de pares, lo que significa que las correlaciones de pares no se pueden usar para vencer a un mercado de martingalas. Los incrementos estacionarios con varianza no lineal, por otro lado, inducen la memoria de par de larga data de movimiento browniano fraccionario que haría que el mercado fuera batible al nivel de correlaciones de pares. Tal mercado estaría necesariamente lejos de ser "eficiente".

Un análisis de series temporales económicas por medio del exponente de Hurst utilizando rango reescalado y análisis de fluctuación desestacionalizada es realizado por el econofísico A.F. Bariviera.^[25] Este artículo estudia el carácter variable en el tiempo de Dependencia de largo alcance y, por lo tanto, de la eficiencia de la información.

El exponente de Hurst también se ha aplicado a la investigación de dependencia de largo alcance en ADN,^[26] y fotónico band gap materials.^[27]