Extensión HNN

Una extensión HNN de un grupo G es la inmersión de dicho grupo en otro grupo H de forma que dos subgrupos isomorfos K y J de G son conjugados (por un isomorfismo dado previamente) en H.

Si ${\displaystyle G}$ tiene la presentación ${\displaystyle \langle S|R\rangle }$ y ${\displaystyle \alpha :J\rightarrow K}$ es un isomorfismo entre dos subgrupos de ${\displaystyle G}$ entonces la extensión HNN de ${\displaystyle G}$ respecto de ${\displaystyle \alpha }$ (que se nota ${\displaystyle G*_{\alpha }}$) tiene la siguiente presentación:

${\displaystyle \langle S,t\ |\ R,\ tjt^{-1}=\alpha (j)\ \forall j\in J\rangle }$

Dado que el grupo ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ contiene los generadores y las relaciones de ${\displaystyle G}$, resulta clara la existencia de un morfismo de ${\displaystyle G}$ en ${\displaystyle G*_{\alpha }}$, lo que prueban Higman, Neumann y Neumann en su artículo es que dicho morfismo es inyectivo.

Una consecuencia directa de este resultado es que cualquier isomorfismo entre dos subgrupos de un grupo G puede verse en una extensión H del mismo como un isomorfismo interno (o sea que ambos subgrupos resultan conjugados en H).

El lema de Britton, probado en 1963 en "The word problem"^[3] da una forma de identificar los elementos de una extensión HNN que no son la identidad.

Cualquier elemento ${\displaystyle w\in G*_{\alpha }}$ puede escribirse como:

${\displaystyle w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{n},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1}$

Lema de Britton Sea w tal que

• n = 0 y g₀ ≠ 1 ∈ G, o
• n > 0 y en w no aparecen subpalabras de la forma tjt⁻¹, con j ∈ J y de la forma t⁻¹kt con k ∈ K,

entonces w ≠ 1 ∈ G∗_α.