Final (topología)

Sea X un espacio topológico y supóngase que

${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq K_{3}\subseteq \cdots }$

es una secuencia ascendente de subespacios compactos de X cuyos interiores recubren X. Entonces, X tiene un final para cada secuencia

${\displaystyle U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq U_{3}\supseteq \cdots ,}$

donde cada U_n es un componente conexo de X \ K_n. El número de extremos no depende de la secuencia específica {K_i} de conjuntos compactos, porque existe una función biyectiva natural entre los conjuntos de extremos asociados con dos de dichas secuencias.

Usando esta definición, un entorno de un extremo {U_i} es un conjunto abierto V tal que V ⊇ U_n para algunos n, que representan las vecindades del punto correspondiente en el infinito en la compactación final (esta compactación no siempre es compacta; para ello, el espacio topológico X tiene que ser conexo y el espacio localmente conexo).

La definición de extremos dada anteriormente se aplica solo a los espacios X que poseen una exhaustación por conjuntos compactos (es decir, X debe ser hemicompacto). Sin embargo, se puede generalizar de la siguiente manera: sea X cualquier espacio topológico y considérese el sistema directo {K} de subconjuntos compactos de X y una aplicación inclusiva. Existe un límite inverso correspondiente { Π₀( X \ K ) }, donde Π₀(Y) denota el conjunto de componentes conectados de un espacio Y, y cada aplicación de inclusión Y → Z induce una función Π₀(Y) → Π₀(Z). Entonces el conjunto de extremos de X se define como el límite inverso de este sistema inverso.

Según esta definición, el conjunto de extremos es un funtor desde la categoría de espacios topológicos, donde los morfismos son solo aplicaciones continuas propias hasta la categoría de conjuntos. Explícitamente, si φ : X → Y es una aplicación propia y x = (x_K)_K es un final de X (es decir, cada elemento x_K en la familia es un componente conectado de X ∖ K y son compatibles con aplicaciones inducidas por inclusiones) entonces φ(x) es la familia ${\displaystyle \varphi _{*}(x_{\varphi ^{-1}(K')})}$ donde ${\displaystyle K'}$ abarca subconjuntos compactos de Y y φ_* es la aplicación inducida por φ de ${\displaystyle \pi _{0}(X\smallsetminus \varphi ^{-1}(K'))}$ a ${\displaystyle \pi _{0}(Y\smallsetminus K')}$. La propiedad de φ se utiliza para garantizar que cada φ⁻¹(K) sea compacto en X.

La definición original anterior representa el caso especial en el que el sistema directo de subconjuntos compactos tiene una secuencia cofinal.

• El conjunto de extremos de cualquier espacio compacto es el conjunto vacío.
• La recta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tiene dos extremos. Por ejemplo, si se considera que K_n sea el intervalo [−n, n], entonces los dos extremos son las secuencias de conjuntos abiertos U_n  = (n, ∞) y V_n = (−∞, −n). Estos extremos suelen denominarse infinito y menos infinito, respectivamente.
• Si n > 1, entonces el espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tiene un solo extremo. Esto se debe a que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus K}$ tiene solo un componente ilimitado para cualquier conjunto compacto K.
• De manera más general, si M es una variedad compacta, entonces el número de extremos del interior de M es igual al número de componentes conectados del límite de M.
• La unión de n radios distintos que emanan del origen en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ tiene n extremos.
• El árbol binario completo infinito tiene innumerables extremos, correspondientes a innumerables caminos descendentes diferentes que comienzan en la raíz (esto se puede ver dejando que K_n sea el árbol binario completo de profundidad n). Estos extremos pueden considerarse como las hojas del árbol infinito. En la compactación final, el conjunto de extremos tiene la topología de un conjunto de Cantor.