Forma de conservación

Las ecuaciones en forma de conservación adoptan la forma $${\displaystyle {\frac {\partial \xi }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} (\xi )=0}$$ para cualquier cantidad conservada ${\displaystyle \xi }$, con una función adecuada ${\displaystyle \mathbf {f} }$. Una ecuación de esta forma puede transformarse en una ecuación integral $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V}\xi ~dV=-\oint _{\partial V}\mathbf {f} (\xi )\cdot {\hat {\mathbf {n} }}~dS}$$ utilizando el teorema de la divergencia. La ecuación integral establece que la tasa de variación de la integral de la cantidad ${\displaystyle \xi }$ sobre un volumen de control arbitrario ${\displaystyle V}$ viene dada por el flujo ${\displaystyle \mathbf {f} (\xi )}$ a través de la frontera del volumen de control, siendo ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ la normal a la superficie exterior a través de la frontera. ${\displaystyle \xi }$ no se produce ni se consume dentro de ${\displaystyle V}$ y, por lo tanto, se conserva. Una elección típica para ${\displaystyle \mathbf {f} }$ es ${\displaystyle \mathbf {f} (\xi )=\xi \mathbf {u} }$, con velocidad ${\displaystyle \mathbf {u} }$, lo que significa que la cantidad ${\displaystyle \xi }$ fluye con un campo de velocidad dado.

La forma integral de tales ecuaciones suele ser la formulación físicamente más natural, y la ecuación diferencial surge de la derivación. Dado que la ecuación integral también puede tener soluciones no diferenciables, la igualdad entre ambas formulaciones puede romperse en algunos casos, lo que conduce a soluciones débiles y a graves dificultades numéricas en las simulaciones de tales ecuaciones.

Un ejemplo de un sistema de ecuaciones escrito en forma de conservación son las ecuaciones de Euler del flujo de fluidos: $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+pV))=0}$$

Cada una de ellas representa la conservación de la masa, el impulso y la energía, respectivamente.

• Leyes de conservación (física)
• Especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo

• Toro, E.F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• Randall J. LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-00924-3 (Cambridge Texts in Applied Mathematics).