Teorema de la divergencia

Joseph-Louis Lagrange introdujo la notación de integral de superficie en 1760 y en 1811 lo hizo en términos más generales en la segunda edición de Mécanique Analytique. Lagrange utilizó integrales de superficie en su trabajo de mecánica de fluidos, él fue quien descubrió el teorema de la divergencia en 1762.

Carl Friedrich Gauss también utilizó integrales de superficie mientras estuvo trabajando en la atracción gravitacional de una esfera elíptica en 1813 cuando demostró casos particulares del teorema de la divergencia pero fue Mijaíl Ostrogradski quien dio la primera demostración general del teorema en 1826 como parte de su investigación. Casos especiales fueron demostrados por George Green en 1828 en An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism y Siméon Denis Poisson en 1824 en un documento relacionado con elasticidad.

Sea ${\displaystyle U}$ una región sólida acotada por una superficie cerrada ${\displaystyle S}$. Si ${\displaystyle \mathbf {F} }$ es un campo vectorial continuamente diferenciable en un entorno de ${\displaystyle U}$ entonces

${\displaystyle \iint _{\partial U}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} =\iiint _{U}\nabla \cdot \mathbf {F} \;dV}$

donde ${\displaystyle S=\partial U}$.

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Supóngase que deseamos evaluar

${\displaystyle \iint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$

donde ${\displaystyle \partial S}$ es la esfera unitaria descrita por

${\displaystyle \partial S=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}}$

y ${\displaystyle \mathbf {F} }$ es el campo vectorial dado por

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} }$

Calcular dicha integral resulta algo complicado por lo que para hacer los cálculos más sencillos, usaremos el teorema de la divergencia por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} &=\iiint _{S}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV\\&=2\iiint _{S}(1+y+z)dV\\&=2\iiint _{S}dV+2\iiint _{S}ydV+2\iiint _{S}zdV\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle S}$ es la bola unitaria dada por

${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\}}$

Dado que la función ${\displaystyle y}$ es positiva en un hemisferio de ${\displaystyle S}$ y negativo en el otro entonces la integral sobre ${\displaystyle S}$ vale cero, similarmente para la función ${\displaystyle z}$, esto es:

${\displaystyle \iiint _{S}ydV=\iiint _{S}zdV=0}$

Por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} &=\iiint _{S}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV\\&=2\iiint _{S}dV\\&=2\left({\frac {4\pi }{3}}\right)\\&={\frac {8\pi }{3}}\end{aligned}}}$

El teorema de la divergencia posee aplicaciones en distintas áreas de la física al relacionar magnitudes definidas localmente con flujos sobre fronteras geométricas.^[3]

Electromagnetismo

En electromagnetismo, el teorema constituye la base matemática de la ley de Gauss, permitiendo expresar la relación entre el flujo del campo eléctrico y la distribución de carga tanto en forma integral como diferencial.^[1]

Mecánica de fluidos

En mecánica de fluidos, el teorema se utiliza para formular ecuaciones de conservación asociadas al transporte de masa y energía, transformando descripciones locales del flujo en relaciones integrales sobre regiones espaciales finitas.^[4]

Mecánica clásica

En formulaciones de mecánica clásica y física continua, el teorema de Gauss–Ostrogradski se emplea para relacionar densidades distribuidas espacialmente con flujos definidos sobre superficies cerradas.^[5]

Múltiples dimensiones

Puede utilizarse el teorema de Stokes para calcular la integral de volumen ${\displaystyle n}$-dimensional de la divergencia de un campo vectorial ${\displaystyle \mathbf {F} }$ sobre una región ${\displaystyle U}$ a una integral de superficie ${\displaystyle (n-1)}$-dimensional de ${\displaystyle \mathbf {F} }$ sobre la frontera de ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \;dV=\underbrace {\oint \cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$

Esta ecuación también es conocida como el teorema de la divergencia.

Cuando ${\displaystyle n=2}$, esto es equivalente al teorema de Green.

Cuando ${\displaystyle n=1}$, se reduce a integración por partes.

• Ley de Gauss
• Teorema de Green
• Teorema de Stokes