Fran Vieites, natural de Pontecesures, dio sus primeras patadas a un balón de fútbol en el campo municipal "Ramón Dieguez" de la localidad cesureña, dirigido por Marcos Jamardo "Pichi", jugando para el Pontecesures CF, donde jugó hasta que fichó por el Bertamiráns FC para disputar la categoría cadete en ese club.[citarequerida]
En 2015 ingresó en la cantera del Real Club Celta de Vigo para formar parte del Juvenil "B".[2] Tras pasar por el Juvenil "A", en la temporada 2018-19 formó parte del filial en la Segunda División B.[citarequerida] Durante la temporada 2019-20, jugó 15 partidos en la categoría, logrando dejar la meta a cero en tres ocasiones en la categoría de bronce con el filial olívico, también formó parte de 12 convocatorias con el primer equipo.[citarequerida]
El 8 de septiembre de 2020 firmó con el C. D. Lugo, entonces en la Segunda División de España, por cuatro temporadas.[3] En la temporada 2021-22, disputó 12 partidos en Segunda División con este equipo.[citarequerida]
Debutó con el Real Betis en la Primera División de España el 16 de septiembre de 2023, en la quinta jornada de la temporada 2023-24, en el partido disputado ante el Fútbol Club Barcelona en Montjuïc. Salió en la segunda parte, tras lesión de Rui Silva. Ese año, tras las lesiones de Rui Silva y Claudio Bravo, jugó su primer partido en el Benito Villamarín el 26 de noviembre, ante la Unión Deportiva Las Palmas, siendo uno de los más destacados del Betis. El partido acabó con victoria local por 1-0.[6] En la temporada 2024-25 fue inscrito en la Liga con ficha del primer equipo, siendo el portero titular de la competición regular en la rotación de Manuel Pellegrini tras la salida en el mercado invernal de Rui Silva y al no ser posible su inscripción para jugar la Liga Conferencia de la UEFA por falta de cupo, competición que acabó disputando Adrián San Miguel, su rival bajo palos esa campaña.[4]
Tras los fichajes de Álvaro Valles y Pau López acometidos por el club verdiblanco, y después de no concretarse una salida en forma de cesión o traspaso a ningún otro equipo como vaticinaban algunos medios de comunicación, dejó de pertenecer al Real Betis el 12 de agosto de 2025 mediante la rescisión del contrato que lo vinculaba al club de Heliópolis, al cual le restaba un año de vigencia.[7] Entonces se marchó a Inglaterra y en septiembre se incorporó al Leicester City.[8]
