Frío y calor (teoría de juegos combinatorios)

El juego enfriado ${\displaystyle G_{t}}$ ("${\displaystyle G}$ enfriado por ${\displaystyle t}$") para un juego ${\displaystyle G}$ y un número (surreal) ${\displaystyle t}$ está definido por^[5]

${\displaystyle G_{t}={\begin{cases}\{G_{t}^{L}-t\mid G_{t}^{R}+t\}&{\text{ para todos los números }}t\leq {\text{ cualquier número }}\tau {\text{ para el cual }}G_{\tau }{\text{ está infinitesimalmente cerca de algún número }}m{\text{ , }}\\G_{t}=m&{\text{ para }}t>\tau \end{cases}}}$.

La cantidad ${\displaystyle t}$ por la cual ${\displaystyle G}$ e enfría se conoce como temperatura; el mínimo ${\displaystyle \tau }$ por la cual ${\displaystyle G_{\tau }}$ está infinitesimalmente cerca de ${\displaystyle m}$ se conoce como la temperatura ${\displaystyle t(G)}$ de ${\displaystyle G}$; ${\displaystyle G}$ se dice que se congela a

${\displaystyle G_{\tau }}$; ${\displaystyle m}$ es el valor medio (o simplemente la media) de ${\displaystyle G}$.

La calefacción es la inversa de la refrigeración y se define como la "integral"^[6]

${\displaystyle \int ^{t}G={\begin{cases}G&{\text{ if }}G{\text{ is a number, }}\\\{\int ^{t}(G^{L})+t\mid \int ^{t}(G^{R})-t\}&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}}$

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La multiplication de Norton es una extensión de la multiplicación a un juego ${\displaystyle G}$ y un juego positivo ${\displaystyle U}$ (la "unidad") definida por^[7]

${\displaystyle G.U={\begin{cases}G\times s&{\text{ (i.e. the sum of }}G{\text{ copies of }}s{\text{) if }}G{\text{ is a non-negative integer, }}\\-G\times -s&{\text{ if }}G{\text{ is a negative integer, }}\\\{G^{L}.U+(U+I)\mid G^{R}.U-(U+I)\}{\text{ where }}I{\text{ ranges over }}\Delta (U)&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}}$

Los incentivos ${\displaystyle \Delta (U)}$ de un juego ${\displaystyle U}$ se definen como ${\displaystyle \{u-U:u\in U^{L}\}\cup \{U-u:u\in U^{R}\}}$.

El sobrecalentamiento es una extensión de la calefacción utilizada en la solución del Blockbusting de Berlekamp, donde ${\displaystyle G}$ recalentado de ${\displaystyle s}$ a ${\displaystyle t}$ está definido para juegos arbitrarios ${\displaystyle G,s,t}$ con ${\displaystyle s>0}$ como^[8]

${\displaystyle \int _{s}^{t}G={\begin{cases}G.s&{\text{ si }}G{\text{ es un entero, }}\\\{\int _{s}^{t}(G^{L})+t\mid \int _{s}^{t}(G^{R})-t\}&{\text{ de lo contrario. }}\end{cases}}}$

Winning Ways for your Mathematical Plays también define el sobrecalentamiento de un juego ${\displaystyle G}$ por un juego positivo ${\displaystyle X}$, como^[9]

${\displaystyle \int _{0}^{t}G=\{\int _{0}^{t}(G^{L})+X\mid \int _{0}^{t}(G^{R})-X\}}$

Téngase en cuenta que en esta definición los números no se tratan de manera diferente a los juegos arbitrarios, y que el "límite inferior" 0 lo distingue de la definición anterior de Berlekamp