Funciones theta de Neville

Gráficos de las funciones theta de Neville

En matemáticas, las funciones theta de Neville, que llevan el nombre del matemático británico Eric Harold Neville (1889-1961),^[1] se definen de la siguiente manera:^{[2][3] [4]}

${\displaystyle \theta _{c}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(q(m))^{k(k+1)}\cos \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}$

${\displaystyle \theta _{d}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\,\sum _{k=1}^{\infty }(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)}$

${\displaystyle \theta _{n}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)}$

${\displaystyle \theta _{s}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k(k+1)}\sin \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}$

donde: K(m) es la integral elíptica completo del primer tipo, ${\displaystyle K'(m)=K(1-m)}$, y ${\displaystyle q(m)=e^{-\pi K'(m)/K(m)}}$ es el nomo elíptico.

Téngase en cuenta que las funciones θ_p(z,m) a veces se definen en términos del nombre q(m) y se escriben θ_p(z,q) (por ejemplo, NIST^[5]). Las funciones también pueden escribirse en términos del parámetro τ, con el valor θ_p(z|τ) donde ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$.