Función G de Barnes

En matemática, la función G de Barnes G(z) es una función que extiende los superfactoriales a los números complejos. Está relacionada con la función gamma, la función K y la constante de Glaisher–Kinkelin, y fue llamada así en honor al matemático Ernest William Barnes.^[1] Puede ser escrita en términos de la función gamma doble.

Formalmente, la función G de Barnes se define mediante el siguiente producto de Weierstrass:

G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}

donde $\,\gamma$ es la constante de Euler–Mascheroni, exp(x) = e^x es la función exponencial, y Π denota multiplicación (productorio).

Como función entera, G es de orden dos, y de tipo infinito. Esto se puede deducir de la expansión asintótica dada a continuación.

La función G de Barnes satisface la ecuación funcional

G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)

con normalización G(1) = 1. Nótese la similidaridad entre la ecuación funcional de la función G de Barnes y la función Gamma de Euler:

\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).

La ecuación funcional implica que G toma los siguientes valores en argumentos enteros:

$G(n)={\begin{cases}0&{\text{si }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{si }}n=1,2,\dots \end{cases}}$

(en particular, $\,G(0)=0,G(1)=1$ ) y de este modo

G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}

donde $\,\Gamma (x)$ denota la función gamma y K denota la función K. La ecuación funcional define únicamente la función G si la condición de convexidad,

(\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0

es añadida.^[2] Adicionalmente, la función G de Barnes satisface la fórmula de duplicación,^[3]

G(x)G\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}G(x+1)=e^{-{\frac {1}{4}}}A^{3}2^{2x^{2}-3x+{\frac {11}{12}}}\pi ^{{\frac {1}{2}}-x}G\left(2x\right)

Valor en 1/2

G\left({\tfrac {1}{2}}\right)=2^{\frac {1}{24}}e^{{\frac {3}{2}}\zeta '(-1)}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}.

Referencias

↑ E. W. Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264–314.
↑ M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL $(2,\mathbb {Z} )$ , Astérisque 61, 235-249 (1979).
↑ Park, Junesang (1996). «A duplication formula for the double gamma function $Gamma_2$». Bulletin of the Korean Mathematical Society 33 (2): 289-294.

Función G de Barnes

Valor en 1/2

Referencias

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