Fórmula algebraica de la varianza

Si se conocen los momentos E(X) y E(X²) de un variable aleatoria X (donde E(X) es la esperanza matemática de X), entonces la Var(X) viene dada por:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-[\operatorname {E} (X)]^{2}.}$

El resultado se denomina fórmula de König-Huygens en la literatura en lengua francesa^[1] y se conoce como teorema de traslación de Steiner en Alemania.^[2]

Existe una fórmula para determinar la estimación de la varianza a partir de los datos de una muestra, que puede ser de utilidad en los cálculos manuales. Esta es una identidad estrechamente relacionada, que está estructurada para crear una estimación no sesgada de la varianza de la población:

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-{\bar {x}}^{2}\right)\equiv {\frac {1}{N-1}}\left(\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-N\left({\bar {x}}\right)^{2}\right).}$

Sin embargo, el uso de estas fórmulas puede ofrecer resultados erróneos en la práctica, cuando se usa aritmética de punto flotante con una precisión limitada: restar dos valores que tengan una magnitud similar puede llevar a cancelaciones catastróficas desde el punto de vista numérico,^[3] y por lo tanto, provocar una pérdida incontrolada de precisión cuando ${\displaystyle \operatorname {E} (X)^{2}\gg \operatorname {Var} (X)}$.^[4] Esto ha llevado al diseño de varios otros algoritmos para calcular la varianza numéricamente estables para usar con números de punto flotante.^[4]

La fórmula computacional para la varianza de la población se deduce de manera directa a partir de la linealidad de los valores esperados y de la definición de la varianza:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} (X))^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} (X)+[\operatorname {E} (X)]^{2}\right]\\&=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} [2X\operatorname {E} (X)]+[\operatorname {E} (X)]^{2}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-2\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (X)+[\operatorname {E} (X)]^{2}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-2[\operatorname {E} (X)]^{2}+[\operatorname {E} (X)]^{2}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-[\operatorname {E} (X)]^{2}\end{aligned}}}$

Esta fórmula se puede generalizar para la covarianza, con dos variables aleatorias X_i y X_j:

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\operatorname {E} (X_{i}X_{j})-\operatorname {E} (X_{i})\operatorname {E} (X_{j})}$

así como para la matriz de covarianza de orden n por n de un vector aleatorio de longitud n:

${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {X} )=\operatorname {E} (\mathbf {XX^{\top }} )-\operatorname {E} (\mathbf {X} )\operatorname {E} (\mathbf {X} )^{\top }}$

y para la matriz de covarianza cruzada de orden n por m entre dos vectores aleatorios de longitudes n y m:

${\displaystyle \operatorname {Cov} ({\textbf {X}},{\textbf {Y}})=\operatorname {E} (\mathbf {XY^{\top }} )-\operatorname {E} (\mathbf {X} )\operatorname {E} (\mathbf {Y} )^{\top }}$

donde los valores esperados se toman en forma de elementos y ${\displaystyle \mathbf {X} =\{X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\}}$ y ${\displaystyle \mathbf {Y} =\{Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{m}\}}$ son vectores aleatorios de longitudes respectivas n y m.

Téngase en cuenta que esta fórmula adolece del mismo problema de pérdida de significancia que la fórmula para la varianza si se usa para calcular estimaciones de la covarianza, y se deben usar algoritmos alternativos en su lugar.^[4]

• Desviación estándar: identidades y propiedades matemáticas
• Esperanza matemática
• Covarianza
• Álgebra de variables aleatorias