Fórmula de Liouville

Denotamos ${\displaystyle a_{ij}}$ y ${\displaystyle \phi _{ij}}$ como los elementos individuales de las matrices ${\displaystyle A(t)}$ y ${\displaystyle \Phi (t)}$ respectivamente. Por brevedad se omite la variable ${\displaystyle t}$ en estas matrices y sus coeficientes.

Por la fórmula de Leibniz para el cálculo de determinantes se cumple que

${\displaystyle (\det \Phi )'=\sum _{i=1}^{n}\det {\begin{pmatrix}\phi _{11}&\phi _{12}&\cdots &\phi _{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi '_{i1}&\phi '_{i2}&\cdots &\phi '_{in}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{n1}&\phi _{n2}&\cdots &\phi _{nn}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\phi '_{11}&\phi '_{12}&\cdots &\phi '_{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{i1}&\phi _{i2}&\cdots &\phi _{in}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{n1}&\phi _{n2}&\cdots &\phi _{nn}\end{pmatrix}}+\cdots +\det {\begin{pmatrix}\phi _{11}&\phi _{12}&\cdots &\phi _{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi '_{i1}&\phi '_{i2}&\cdots &\phi '_{in}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{n1}&\phi _{n2}&\cdots &\phi _{nn}\end{pmatrix}}+\cdots +\det {\begin{pmatrix}\phi _{11}&\phi _{12}&\cdots &\phi _{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{i1}&\phi _{i2}&\cdots &\phi _{in}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi '_{n1}&\phi '_{n2}&\cdots &\phi '_{nn}\end{pmatrix}}.}$

(1)

En el ${\displaystyle i}$-ésimo sumando se aplica una combinación lineal sobre su ${\displaystyle i}$-ésima fila del resto de sus filas, lo que no altera su valor. Usando la ecuación diferencial de la hipótesis, que en términos de ${\displaystyle a_{ij}}$ y ${\displaystyle \phi _{ij}}$ se escribe

${\displaystyle \phi '_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\phi _{jk}\,,\qquad i,k\in \{1,\ldots ,n\},}$

se obtiene la expresión del ${\displaystyle i}$-ésimo término de la suma anterior en función del determinante de ${\displaystyle \Phi }$:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\phi _{11}&\phi _{12}&\cdots &\phi _{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi '_{i1}&\phi '_{i2}&\cdots &\phi '_{in}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{n1}&\phi _{n2}&\cdots &\phi _{nn}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\phi _{11}&\phi _{12}&\cdots &\phi _{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi '_{i1}-\sum _{\scriptstyle j=1 \atop \scriptstyle j\neq i}^{n}a_{ij}\phi _{j1}&\phi '_{i2}-\sum _{\scriptstyle j=1 \atop \scriptstyle j\neq i}^{n}a_{ij}\phi _{j2}&\cdots &\phi '_{in}-\sum _{\scriptstyle j=1 \atop \scriptstyle j\neq i}^{n}a_{ij}\phi _{jn}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{n1}&\phi _{n2}&\cdots &\phi _{nn}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\phi _{11}&\phi _{12}&\cdots &\phi _{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{ii}\phi _{i1}&a_{ii}\phi _{i2}&\cdots &a_{ii}\phi _{in}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{n1}&\phi _{n2}&\cdots &\phi _{nn}\end{pmatrix}}=a_{ii}\det \Phi .}$ Usando esto en la fórmula (1), se obtiene la siguiente ecuación diferencial para el determinante de ${\displaystyle \Phi }$:

${\displaystyle (\det \Phi )'=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\det \Phi =\mathrm {tr} \,A\,\det \Phi }$.

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden separable, cuya solución es

${\displaystyle \det \Phi (t)=\det \Phi (t_{0})\,\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}trA(s)ds\right),\qquad t,t_{0}\in I.}$

• Ecuación diferencial
• Ecuación diferencial lineal homogénea

• Teschl, Gerald (2012), Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence: American Mathematical Society, MR 2961944, Zbl 1263.34002 .

• González López, Artemio (2004). «Ecuaciones diferenciales I». Universidad de Santiago de Compostela. Consultado el 20 de abril de 2023.