Fórmula de Murakami-Yano

Sea ${\displaystyle T(A,B,C,D,E,F)}$ un tetraedro hiperbólico compacto, con ángulos diedros ${\displaystyle A,B,C,D,E,F}$, ordenados de manera que ${\displaystyle A,B,C}$ rodean a un vértice, y ${\displaystyle D,E,F}$ son los ángulos respectivamente opuestos a ${\displaystyle A,B,C}$. Entonces, el volumen del tetraedro hiperbólico ${\displaystyle T=T(A,B,C,D,E,F)}$, se puede obtener mediante la fórmula:^[1]

Fórmula de Murakami-Yano: ${\displaystyle Vol(T)=-{1 \over 4}\int _{z1}^{z2}\ln {\cos {A+B+C+z \over 2}\cos {A+E+F+z \over 2}\cos {B+D+F+z \over 2}\cos {C+D+E+z \over 2} \over \sin {A+B+D+E+z \over 2}\sin {A+C+D+F+z \over 2}\sin {B+C+E+F+z \over 2}\sin {z \over 2}}\,dz}$

donde ${\displaystyle z_{1}}$ y ${\displaystyle z_{2}}$ son los límites de la integral, dados por:

${\displaystyle z_{1}=\tan ^{-1}{k_{2} \over k_{1}}-\tan ^{-1}{k_{4} \over k_{3}}}$

${\displaystyle z_{2}=\tan ^{-1}{k_{2} \over k_{1}}+\tan ^{-1}{k_{4} \over k_{3}}}$

siendo

${\displaystyle k_{1}=-(\cos {S}+\cos {(A+D)}+\cos {(B+E)}+\cos {(C+F)}+\cos {(D+E+F)}+\cos {(D+B+C)}+\cos {(A+E+C)}+\cos {(A+B+F)})}$

${\displaystyle k_{2}=\sin {S}+\sin {(A+D)}+\sin {(B+E)}+\sin {(C+F)}+\sin {(D+E+F)}+\sin {(D+B+C)}+\sin {(A+E+C)}+\sin {(A+B+F)}}$

${\displaystyle k_{3}=2(\sin {A}\sin {D}+\sin {B}\sin {E}+\sin {C}\sin {F})}$

${\displaystyle k_{4}={\sqrt {k_{1}^{2}+k_{2}^{2}-k_{3}^{2}}}}$

y

${\displaystyle S=A+B+C+D+E+F}$

• Observación 1: las sumas ${\displaystyle V_{1}=A+B+C\,}$; ${\displaystyle V_{2}=A+E+F\,}$; ${\displaystyle V_{3}=B+D+F\,}$; ${\displaystyle V_{4}=C+D+E\,}$ en el numerador y ${\displaystyle H_{1}=A+B+D+E\,}$; ${\displaystyle H_{2}=A+C+D+F\,}$; ${\displaystyle H_{3}=B+C+E+F\,}$ en el denominador tienen una interpretación geométrica sencilla: los primeros términos son las sumas de los ángulos diedros en los vértices de ${\displaystyle T}$, y los segundos son las sumas de de los ángulos a lo largo de los ciclos hamiltonianos de ${\displaystyle T}$.

• Observación 2: los límites ${\displaystyle z_{1}}$ y ${\displaystyle z_{2}}$ de la integral satisfacen la ecuación ${\displaystyle k_{1}\cos {z}+k_{2}\sin {z}=k_{3}}$, y ${\displaystyle k_{4}^{2}=-4\det {(G)}}$, donde ${\displaystyle G}$ es la matriz de Gram de ${\displaystyle T}$. Los valores de ${\displaystyle z_{1}}$ y ${\displaystyle z_{2}}$ son los parámetros de la partición de un octaedro ideal en cuatro tetraedros ideales con una arista en común. El octaedro está canónicamente determinado por ${\displaystyle T}$, y sus ángulos diedros son combinaciones lineales de los de ${\displaystyle T}$.

• Murakami, Jun; Yano, Masakazu (2005), «On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron», Communications in Analysis and Geometry 13 (2): 379-400, ISSN 1019-8385, MR 2154824, archivado desde el original el 10 de abril de 2012, consultado el 10 de febrero de 2012 . url=http://www.f.waseda.jp/murakami/papers/tetrahedronrev4.pdf