Fórmula de cuadratura de Cavalieri

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Para valores negativos de n (potencias negativas de x), se produce un singularidad en x = 0, y por lo tanto la integral definida se sitúa en 1, en lugar de 0, cediendo:

${\displaystyle \int _{1}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\qquad n\neq -1.}$

Además, para valores negativos fraccionarios (no enteros) de n, la potencia xⁿ no está bien definida, por lo tanto, la integral indefinida solo se define para x positivo. Sin embargo, siendo n un entero negativo, la potencia xⁿ se define para todas las x no nulas, y las integrales indefinidas y las integrales definidas se pueden hallar sus valores, y por lo tanto se pueden calcular mediante un argumento de simetría, reemplazando x por −x, y limitando la integral definida negativa en −1.

Sobre los números complejos, la integral definida (para valores negativos de n y x) se puede definir a través de una integral de contorno, pero entonces depende de la elección de la ruta, específicamente de su índice: el problema geométrico es que la función define un recubrimiento con una singularidad en 0.

También está el caso excepcional n = −1, produciendo un logaritmo en lugar de una potencia de  x:

${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln a,}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln x+C,\qquad x>0}$

(donde "ln" significa el logaritmo natural, es decir, el logaritmo de base e = 2.71828 ...).

La integral incorrecta a menudo se extiende a valores negativos de x a través de la elección discrecional:

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C,\qquad x\neq 0.}$

Téngase en cuenta el uso del valor absoluto en la integral indefinida; una manera de dar una forma unificada a la integral, y significa que la integral de esta función impar es una función par, aunque el logaritmo solo se define para las entradas positivas, y de hecho, diferentes valores constantes de C pueden ser elegidos a cualquier lado de 0, ya que estos no cambian la derivada. La forma más general es así:^[1]

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx={\begin{cases}\ln |x|+C^{-}&x<0\\\ln |x|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$

Sobre los números complejos no existe una función primitiva global para 1/x, debido a que esta función define un espacio recubridor no trivial; esta forma es especial para los números reales.

Téngase en cuenta que la integral definida comenzando desde 1 no está definida para valores negativos de a, ya que pasa a través de una singularidad, aunque como 1/x es una función impar, puede limitarse la integral definida para potencias negativas en −1. Si se considera la posibilidad a usar integrales impropias y calcular el valor principal de Cauchy, se obtiene ${\displaystyle \int _{-c}^{c}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}$ que también se puede argumentar por simetría (ya que el logaritmo es impar), por lo que ${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}$ no tiene importancia si la integral definida se limita en 1&nbspo −1. Al igual que con la integral indefinida, este planteamiento es especial para los números reales, y no se extiende a los números complejos.

La integral también se puede escribir con índices intercambiados, lo que simplifica el resultado y hace que la relación con la diferenciación n-dimensional y el n-cubo sea más clara:

${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}a^{n}\qquad n\geq 1.}$

${\displaystyle \int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}+C\qquad n\neq 0.}$

De manera más general, estas fórmulas se pueden dar como:

${\displaystyle \int (ax+b)^{n}dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}dx={\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}$

Más generalmente:

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{-}&x<-b/a\\{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{+}&x>-b/a\end{cases}}}$

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La prueba moderna es utilizar una función primitiva: la derivada de xⁿ se muestra como nxⁿ⁻¹, para enteros no negativos. Esto se demuestra a partir del teorema del binomio y la definición de derivada, y por lo tanto, por el teorema fundamental del cálculo, la función primitiva es la integral. Este método falla para ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx,}$ ya que la función primitiva candidata es ${\displaystyle {\frac {1}{0}}\cdot x^{0}}$, que no está definida debido a la división por cero. La función logaritmo, que es la función primitiva real de 1/x, debe introducirse y examinarse por separado.

Para enteros positivos, esta demostración puede ser geometrizada:^[2] si se considera la cantidad xⁿ como el volumen del n-cubo (un hipercubo tiene n dimensiones), entonces la derivada es la modificación del volumen a medida que se cambia la longitud del lado: esto es xⁿ⁻¹, que puede interpretarse como el área de n caras, cada una de las dimensiones n − 1 (fijando un vértice en el origen, estas son las n caras que no tocan el vértice), que corresponde al cubo que aumenta de tamaño al crecer en la dirección de estas caras, en el caso tridimensional, sumando 3 cuadrados infinitesimalmente finos, uno por cada una de estas caras. Por el contrario, geometrizando según el teorema fundamental del cálculo, acumulando estos infinitesimales (n − 1) cubos produce una (híper)-pirámide, y n de estas pirámides forman el n -cubo, que produce la fórmula. Además, hay un n-pliegue de simetría cíclica del n-cubo alrededor de la diagonal que recorre estas pirámides (por lo que una pirámide es un dominio fundamental). En el caso del cubo (3-cubo), así es como el volumen de una pirámide se estableció originalmente rigurosamente: el cubo tiene una simetría triple, con un dominio fundamental de pirámides, dividiendo el cubo en 3 pirámides, que corresponden al hecho de que el volumen de una pirámide es un tercio de la base multiplicado por la altura. Esto ilustra geométricamente la equivalencia entre la cuadratura de la parábola y el volumen de una pirámide, que se calcularon clásicamente por diferentes medios.

Existen pruebas alternativas, por ejemplo, Fermat calculó el área mediante el truco algebraico de dividir el dominio en ciertos intervalos de longitud desigual;^[3] alternativamente, se puede probar esto reconociendo una simetría del gráfico y = xⁿ bajo una dilatación no homogénea (por d en la dirección x y por dⁿ en la dirección y, algebraizando las n dimensiones de la dirección y),^[4] o deduciendo la fórmula para todos los valores enteros expandiendo el resultado para n = −1 y comparando los coeficientes.^[5]