Fórmula integral de Schwarz

Sea ${\displaystyle f}$ una función holomorfa en el semiplano superior cerrado ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C}$ :\operatorname {Im} (z)\geq 0\}} tal que para algún ${\displaystyle \alpha >0}$, ${\displaystyle |z^{\alpha }f(z)|}$ está acotado por el semiplano superior cerrado entonces

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\zeta ,0)}{\zeta -z}}\,d\zeta ={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {Re(f)(\zeta +0i)}{\zeta -z}}\,d\zeta }$

para todo ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)>0}$.

Considere que, comparando con la versión del disco unitario, esta fórmula no tiene una constante arbitraria añadida a la integral.

La fórmula proviene de la Fórmula integral de Poisson aplicada a ${\displaystyle u}$:^[1][2]

${\displaystyle u(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(e^{i\psi })\operatorname {Re} \;{e^{i\psi }+z \over e^{i\psi }-z}\;d\psi }$

para ${\displaystyle |z|<1}$.

Por medio de mapas de conformación, la fórmula se puede generalizar a cualquier conjunto abierto simplemente conexo

• Ahlfors, Lars V. (1979), Complex Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, ISBN 0-07-085008-9
• Remmert, Reinhold (1990), Theory of Complex Functions, Second Edition, Springer, ISBN 0-387-97195-5
• Saff, E. B., and A. D. Snider (1993), Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering, Second Edition, Prentice Hall, ISBN 0-13-327461-6