Grafo de visibilidad

El algoritmo CalcularGrafoVisibilidad consiste en recorrer los vértices de todos los polígonos y a partir de cada uno determinar que vértices son visibles^[2] .

Algoritmo CalcularGrafoVisibilidad(S)

//${\displaystyle S}$ Conjunto de polígonos disjuntos ${\displaystyle G}$← ${\displaystyle \emptyset }$ // Crear un grafo vacío ${\displaystyle G.vertices}$ ← ${\displaystyle S.vertices}$ // Todos los vértices de los polígonos se agregan como nodos for ${\displaystyle v_{i}}$ in ${\displaystyle G.vertices}$ ${\displaystyle W}$ ← ${\displaystyle VisibleVertices(v_{i},S)}$ for ${\displaystyle w_{i}}$ in ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G.addEdge(v_{i},w_{i})}$ // Se generan aristas con todos los vértices visibes return ${\displaystyle G}$

El algoritmo para determinar que vértices son visibles recibe como entrada un punto y un conjunto de polígonos disjuntos los cuales son tratados como segmentos de recta, cabe señalar que los polígonos deben ser simples ya que en caso contrario los segmentos de recta se interesectarían entre sí dificultando mantener su estado. El algoritmo VisibleVertices se basa en la idea de utilizar una semirrecta de barrido con origen en el vértice de entrada y desplazarla en el orden inverso de las manecillas del reloj para procesar todos los vértices de los polígonos. El estado de los segmentos procesados se almacena en un árbol binario balanceado el cual ayuda a decidir que segmento es visible. Para insertar en el árbol se puede utilizar el sentido de los segmentos orientándolos de su punto inicial al final y recorrer el árbol verificando si un segmento está a la izquierda o a la derecha de otro.

Algoritmo VisibleVertices(S,p)

//${\displaystyle S}$ Conjunto de polígonos disjuntos //${\displaystyle p}$ Punto de referencia que no está dentro de algún polígono ${\displaystyle V}$ ← Ordenar los vértices de los polígonos en sentido antihorario con respecto al punto ${\displaystyle p}$ y una semirrecta de pendiente 0. ${\displaystyle T}$← ${\displaystyle \emptyset }$ // Árbol balanceado donde se almacenarán los segmentos ${\displaystyle VerticesVisibles}$←${\displaystyle \emptyset }$ // lista con los vértices visibles Insertar en ${\displaystyle T}$ todos los segmentos que se intersequen con la semirrecta de origen p y pendiente 0. segmentoVisible ← Obtener el elemento más a la izquierda de ${\displaystyle T}$ for ${\displaystyle v_{i}}$ in ${\displaystyle V}$ if ${\displaystyle Visible(p,v_{i},segmentoVisible)}$ Agregar ${\displaystyle v_{i}}$ a ${\displaystyle VerticesVisibles}$ ${\displaystyle l}$← semirrecta que tiene origen en ${\displaystyle p}$ y pasa por ${\displaystyle v_{i}}$ Insertar en ${\displaystyle T}$ las aristas incidentes en ${\displaystyle v_{i}}$ que se encuentren del lado izquierdo de ${\displaystyle l}$ // Aquellas que se encuentran en el sentido de barrido de la recta Eliminar de ${\displaystyle T}$ las aristas que se encuentran del lado derecho de ${\displaystyle l}$ // Aquellas que ya han sido procesadas segmentoVisible ← Obtener el elemento más a la izquierda de ${\displaystyle T}$ return ${\displaystyle VerticesVisibles}$

En un algoritmo como el anterior que únicamente trate con segmentos sería suficiente con verificar si el segmento cuyo vértice está siendo procesado se interseca con el segmento que se encuentra más a la izquierda del árbol ${\displaystyle T}$ (el segmento más a la izquierda en el árbol es el segmento visible actualmente de acuerdo a la línea de barrido). Debido a que se trata con polígonos se deben hacer otras consideraciones, además el punto ${\displaystyle p}$ pertenece a un polígono el cual obstaculiza también la línea de visión del vértice, el algoritmo presentado a continuación únicamente toma en cuenta la segunda consideración.

Algoritmo Visible(${\displaystyle p,v_{i},segmentoVisible}$)

//${\displaystyle v_{i}}$ Vértice de un polígono //${\displaystyle p}$ Punto de referencia //${\displaystyle segmentoVisible}$ Segmento de recta que es visible en la posición actual de la semirrecta de barrido if el segmento ${\displaystyle {\overline {pv_{i}}}}$ interesecta el polígono al cual pertenece ${\displaystyle p}$ return false if el segmento ${\displaystyle {\overline {pv_{i}}}}$ interesecta al segmento visible return false else return true

El algoritmo que calcula el grafo de visibilidad procesa los ${\displaystyle n}$ vértices de los polígonos de entrada y para cada uno de ellos ejecuta el algoritmo VerticesVisibles.

El algoritmo VerticesVisibles realiza un preprocesamiento sobre los vértices al ordenarlos lo cual se puede realizar en ${\displaystyle n\log(n)}$.Posteriormente recorre nuevamente los ${\displaystyle n}$ vértices de los polígonos almacenando y removiendo cada arista como máximo una vez del árbol, las operaciones insertar, eliminar y obtener el elemento más a la izquierda toman ${\displaystyle \log(n)}$. La verificación de vértice visible puede ser realizada en tiempo constante.

Debido al ordenamiento y al procesamiento de los vértices con el árbol la complejidad del algoritmo VerticesVisibles es ${\displaystyle O(n\log(n))}$ y ya que este se invoca ${\displaystyle n}$ veces, entonces la complejidad del algoritmo CalcularGrafoVisibilidad es ${\displaystyle O(n^{2}\log(n))}$.

Cuando los obstáculos son barras de diferentes alturas ordenados en una línea, pueden ser entendidos como una serie temporal. El concepto de grafo de visibilidad se emplea así con el fin de representar la estructura de una serie temporal.^[3]