Hipótesis de Lindelöf

La hipótesis de Lindelöf es equivalente a la afirmación de que

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=O(T^{1+\varepsilon })}$

para todos los enteros positivos k y para todos los números reales positivos ε. Esta afirmación ha sido demostrada para k = 1 o 2, pero el caso k = 3 parece ser más complejo y todavía se encuentra como un problema abierto.

Hay una más precisa conjetura acerca del comportamiento asintótico de esta integral: Se cree que

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=T\sum _{j=0}^{k^{2}}c_{k,j}\log(T)^{k^{2}-j}+o(T)}$

para algunas constantes c_k,j. Esto fue demostrado por John Edensor Littlewood para k = 1 y por Heath-Brown (1979) para k = 2 (extendiendo un resultado de Ingham (1926) el cual encontró el término principal).

Conrey y Ghosh (1998) sugirió el valor ${\displaystyle (42/9!)\prod _{p}\left((1-p^{-1})^{4}(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)}$ para el coeficiente principal cuando k es 6, y Keating y Snaith (2000) usaron teoría de matrices aleatorias para sugerir algunas conjeturas sobre los valores de los coeficientes para valores de k mayores. Los coeficientes principales ha sido conjeturados para ser el producto de un factor elemental, un cierto producto sobre números primos, y el número de n por n en tabla de Young dado por la siguiente secuencia:

• 1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, (sucesión A039622 en OEIS).

Denotando como p_n el n-ésimo número primo, un resultado dado por Albert Ingham, muestra que la hipótesis de Lindelöf implica que, para cualquier ε > 0,

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\ll p_{n}^{1/2+\varepsilon }\,}$

si n es lo suficientemente grande. Sin embargo, este resultado es mucho peor que la amplia conjetura del espacio entre primos consecutivos.

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