Homología de Hochschild

Sea k un anillo, A una k-álgebra asociativa, y M un A-bimódulo. El álgebra envolvente de A es el producto tensor A^e=A⊗A^o de A con su álgebra opuesta. Los bimódulos sobre A son esencialmente los módulos sobre el álgebra envolvente de A, así que, en particular, A y M pueden considerarse como A^e-módulos.Cartan y Eilenberg (1956) definieron el grupo de homología y cohomología de Hochschild de A con coeficientes en M en términos del funtor Tor y el funtor Ext como

${\displaystyle HH_{n}(A,M)={\text{Tor}}_{n}^{A^{e}}(A,M)}$

${\displaystyle HH^{n}(A,M)={\text{Ext}}_{A^{e}}^{n}(A,M)}$

Sea k un anillo, A una k-álgebra asociativa que es un k-módulo proyectivo, y M un A-bimódulo. Escribiremos el producto tensor de n copias de A sobre k como A^⊗n . El complejo de cadenas que da lugar a la homología de Hochschild viene dado por

${\displaystyle C_{n}(A,M):=M\otimes A^{\otimes n}}$

con operadores de frontera d_i definidos por

${\displaystyle d_{0}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=ma_{1}\otimes a_{2}\cdots \otimes a_{n}}$

${\displaystyle d_{i}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$

${\displaystyle d_{n}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{n}m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1}}$

Donde a_i está en A para cada 1 ≤ i ≤ n y m ∈ M. Si tomamos

${\displaystyle b=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}d_{i},}$

entonces b ° b = 0, así que (C_n(A,M), b) es un complejo de cadenas llamado complejo de Hochschild, y su homología es la homología de Hochschild de A coeficientes en M.

Las aplicaciones d_i son operadores frontera que hacen a la familia de módulos C_n(A,M) un objeto simplicial en la categoría de k-módulos. Esto es, hay un funtor Δ^o → k-mod, donde Δ es la categoría simplicial y k-mod es la categoría de los k-módulos. Aquí, Δ^o es la categoría opuesta de Δ. Las aplicaciones degeneradas están definidas por s_i(a₀ ⊗ ··· ⊗ a_n) = a₀ ⊗ ··· a_i ⊗ 1 ⊗ a_i+1 ⊗ ··· ⊗ a_n. La homología de Hochschild es la homología de este módulo simplicial.

• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956), Homological algebra, Princeton Mathematical Series 19, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5, MR 0077480 .
• Hochschild, G. (1945), «On the cohomology groups of an associative algebra», Annals of Mathematics. Second Series 46: 58-67, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969145, MR 0011076 .
• Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0
• Richard S. Pierce, Associative Algebras, Graduate Texts in Mathematics (88), Springer, 1982.
• Teimuraz Pirashvili, Hodge decomposition for higher order Hochschild homology