Identidad de Beltrami

Un ejemplo de aplicación de la identidad de Beltrami es la curva braquistócrona, que implica encontrar la curva ${\displaystyle y=y(x)}$ que minimice la integral

${\displaystyle I[y]=\int _{0}^{a}{\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}dx\,.}$

El integrando

${\displaystyle L(y,y')={\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}}$

no depende explícitamente de la variable de integración ${\displaystyle x}$, por lo que se aplica la identidad de Beltrami,

${\displaystyle L-y'{\frac {\partial L}{\partial y'}}=C\,.}$

Sustituyendo por ${\displaystyle L}$ y simplificando,

${\displaystyle y(1+y'^{\,2})=1/C^{2}~~{\text{(constante)}}\,,}$

que se puede resolver con el resultado expresado en forma de ecuación paramétrica

${\displaystyle x=A(\phi -\sin \phi )}$

${\displaystyle y=A(1-\cos \phi )}$

siendo ${\displaystyle A}$ la mitad de la constante anterior, ${\displaystyle {\frac {1}{2C^{2}}}}$ y ${\displaystyle \phi }$ una variable. Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide.^[3]

Considérese una cuerda con densidad uniforme ${\displaystyle \mu }$ de longitud ${\displaystyle l}$ suspendida de dos puntos de igual altura y a una distancia ${\displaystyle D}$. Por la fórmula para la longitud de arco,

${\displaystyle l=\int _{S}dS=\int _{s_{1}}^{s_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx,}$

donde ${\displaystyle S}$ es el arco de la cadena y ${\displaystyle s_{1}}$ y ${\displaystyle s_{2}}$ son las condiciones de contorno.

La curva tiene que minimizar su energía potencial:

${\displaystyle U=\int _{S}g\mu y\cdot dS=\int _{s_{1}}^{s_{2}}g\mu y{\sqrt {1+y'^{2}}}dx,}$

y está sujeta a la restricción

${\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=l,}$

donde ${\displaystyle g}$ es la fuerza de gravedad.

Debido a que la variable independiente ${\displaystyle x}$ no aparece en el integrando, la identidad de Beltrami se puede usar para expresar la forma de la cadena como una ecuación diferencial de primer orden separable

${\displaystyle L-y\prime {\frac {\partial L}{\partial y\prime }}=\mu gy{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}+\lambda {\sqrt {1+y\prime ^{2}}}-\left[\mu gy{\frac {y\prime ^{2}}{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}}+\lambda {\frac {y\prime ^{2}}{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}}\right]=C,}$

donde ${\displaystyle \lambda }$ es un multiplicador de Lagrange.

Es posible simplificar la ecuación diferencial de la forma siguiente:

${\displaystyle {\frac {g\rho y-\lambda }{\sqrt {1+y'^{2}}}}=C.}$

Al resolver esta ecuación se obtiene el coseno hiperbólico, donde ${\displaystyle C_{0}}$ es una segunda constante obtenida de la integración

${\displaystyle y={\frac {C}{\mu g}}\cosh \left[{\frac {\mu g}{C}}(x+C_{0})\right]-{\frac {\lambda }{\mu g}}.}$

Las tres incógnitas ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle C_{0}}$ y ${\displaystyle \lambda }$ se pueden resolver utilizando las restricciones para los puntos finales de la cadena y la longitud del arco ${\displaystyle l}$, aunque a menudo es muy difícil obtener una solución de forma cerrada.

1. ↑ Así, la transformada de Legendre de la lagrangiana, la hamiltoniana, es constante a lo largo del camino dinámico.