Identidad de Dixon

La identidad original, de (Dixon, 1891), es:

${\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}.}$

Una generalización, también llamada identidad de Dixon, es:

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!b!c!}}}$

donde a, b y c son números enteros (Wilf, 1994, p. 156) no negativos.

La suma de la izquierda puede escribirse como la serie hipergeométrica terminal bien equilibrada:

${\displaystyle {b+c \choose b-a}{c+a \choose c-a}{}_{3}F_{2}(-2a,-a-b,-a-c;1+b-a,1+c-a;1)}$

y la identidad se deduce como un caso límite (cuando a tiende a un entero) del teorema de Dixon que evalúa una ₃F₂ función hipergeométrica generalizada bien equilibrada en 1, a partir de (Dixon, 1902):

${\displaystyle \;_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+a/2)\Gamma (1+a/2-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+a/2-b)\Gamma (1+a/2-c)}}.}$

Esto es válido para Re(1 + ¹⁄₂a ≤ b ≤ c) > 0. Como c tiende a ±8, se reduce a una función hipergeométrica para la función hipergeométrica ₂F₁ en ±1. El teorema de Dixon se puede deducir del cálculo de la integral de Selberg.