Identidad de Vandermonde

En general, el producto de dos polinomios con grados m y n respectivamente, está dado por la ecuación:

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}{\biggr )}=\sum _{r=0}^{m+n}{\biggl (}\sum _{k=0}^{r}a_{k}b_{r-k}{\biggr )}x^{r},}$

en la cual se utiliza la convención de que a_i = 0 para todos los enteros i > m y b_j = 0 para todos los enteros j > n. Según el teorema del binomio:

${\displaystyle (1+x)^{m+n}=\sum _{r=0}^{m+n}{m+n \choose r}x^{r}.}$

Usando el teorema del binomio para los exponentes m y n, y luego la fórmula anterior para el producto de polinomios, se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{r=0}^{m+n}{m+n \choose r}x^{r}&=(1+x)^{m+n}\\&=(1+x)^{m}(1+x)^{n}\\&={\biggl (}\sum _{i=0}^{m}{m \choose i}x^{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}x^{j}{\biggr )}\\&=\sum _{r=0}^{m+n}{\biggl (}\sum _{k=0}^{r}{m \choose k}{n \choose r-k}{\biggr )}x^{r},\end{aligned}}}$

el convenio anteriormente establecido para los coeficientes de los polinomios está de acuerdo con la definición de los coeficientes binomiales, porque ambos dan cero para todo i > m y j > n, respectivamente.

Mediante la comparación de los coeficientes de x^r, se observa que la identidad de Vandermonde se cumple para todos los números enteros r con 0 ≤ r ≤ m + n. Para enteros mayores que r, los dos lados de la identidad de Vandermonde son cero debido a la definición de los coeficientes binomiales.

La identidad de Vandermonde admite una segunda demostración combinatoria, como se desarrolla a continuación. Supóngase que un comité consiste de m hombres y n mujeres. ¿De cuántas maneras puede formarse un subcomité de r miembros? La respuesta es

${\displaystyle {m+n \choose r}.}$

Además, la solución también es la suma de todos los valores posibles de k para la serie de subcomités que cuentan con k hombres y r − k mujeres:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{r}{m \choose k}{n \choose r-k}.}$

De la igualdad de ambos valores, se obtiene la identidad de Vandermonde.

Tómese una rejilla rectangular de r · (m + n-r) cuadrados. Entonces, hay

${\displaystyle {\binom {r+(m+n-r)}{r}}={\binom {m+n}{r}}}$

caminos que se inician en el vértice inferior izquierdo, y que moviéndose sólo hacia arriba o hacia la derecha alcanzan el vértice superior derecho (esto es porque r es el número de pasos a la derecha y porque pueden hacerse hasta m + n-r movimientos hacia arriba (o viceversa) en cualquier orden, y la longitud total de la ruta es m + n).

Desígnese el vértice inferior izquierdo como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas, (0,0). Hay ${\displaystyle {\binom {m}{k}}}$ caminos que van desde (0,0) hasta (k, m-k), dándose k pasos a la derecha y m-k hacia arriba (la longitud del camino es m). Del mismo modo, hay ${\displaystyle {\binom {n}{r-k}}}$ caminos a partir de (k, m-k) que terminan en (r, m + n-r), con un total de r-k movimientos a la derecha y (m + n-r) - (m-k) hacia arriba, con una longitud del camino que debe ser r-k + (m + n-r) - (m-k) = n. Por lo tanto hay

${\displaystyle {\binom {m}{k}}{\binom {n}{r-k}}}$

caminos con origen en (0,0) y final en (r, m + n-r), y que pasan por (k, m-k). Este es un subconjunto de todos los caminos con inició en (0,0) y que terminan en (r, m + n-r), dado que la suma desde k = 0 a k = r (el punto (k, m-k) se limita para que esté dentro de la rejilla) para obtener el número total de caminos iniciados en (0,0) y que terminan en (r, m + n-r).

Si en la derivación algebraica anteriormente demostrada se utilizan dos polinomios, se obtiene como resultado la identidad de Vandermonde generalizada. Para y + 1 polinomios:

${\displaystyle \sum _{k_{1}+\cdots +k_{y}=0}^{x}{n \choose k_{1}}{n \choose k_{2}}\cdots {n \choose k_{y}}{n \choose x-\sum _{j=1}^{y}k_{j}}={\left(y+1\right)n \choose x}.}$

Otra generalizacion de la identidad de Vandermonde se obtiene de la siguiente identidad^[2] al evaluar en t=0. Sean ${\displaystyle p,q,s\leq p+q}$. Para ${\displaystyle t\leq s}$:

${\displaystyle {p+q+t \choose s}{s \choose t}=\sum _{a+c=s,n\leq a,r\leq c,n+r=t}{p+n \choose a}{a \choose n}{q+r \choose c}{c \choose r}-\sum _{a+c=s-1,n\leq a,r\leq c,n+r=t-1}{p+n \choose a}{a \choose n}{q+r \choose c}{c \choose r}.}$